Question

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Si la longitud de un segmento es 5 y las coordenadas de uno de sus extremos son A( 1 ,2 ) y la otra coordenada es B( x ,-1). Encuentra el valor de x.​

Answer 1

El punto extremo B tiene a 5 y a -3 como valores de abscisa (x), por tanto se obtienen los puntos extremos B (5,-1) y B (-3, -1)  que satisfacen al ejercicio planteado

Solución

Sabemos que la longitud del segmento es 5 y las coordenadas de uno de sus puntos extremos está dado por el par ordenado A (1,2) y el otro extremo tiene de coordenadas B (x, -1)

Luego debemos obtener el valor de la abscisa del punto extremo B sabiendo que el valor de la ordenada es -1

Empleamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para determinar la coordenada desconocida

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Donde conocemos

$\large \textsf{A (1,2)} \ \ \bold{(x_{1} , y_{1} ) }$

$\large \textsf{B (x,-1)} \ \ \bold{(x_{2} , y_{2} ) }$

$\large \textsf{Distancia = Longitud Segmento = 5 }$

Luego se tiene

$\large\boxed{ \bold { Longitud \ Segmento = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

$\large \textsf{ Sustituimos los valores conocidos en la f\'ormula de la distancia }$

Donde debemos hallar la coordenada desconocida

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(x- 1 )^{2} +((-1) -2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(x- 1 )^{2} +(-1 -2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(x- 1 )^{2} +(-3 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{(x- 1 )^{2} +9 } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{x^{2}-2x+1 +9 } } }$

$\boxed{ \bold { 5 = \sqrt{x^{2}-2x+10 } } }$

$\boxed{ \bold {( 5)^{2} =\left( \sqrt{x^{2}-2x+10 }\right )^{2} } }$

$\boxed{ \bold { 25 = x^{2}-2x+10 } }$

$\boxed{ \bold { x^{2}-2x+10 -25 = 0 } }$

$\large\boxed{ \bold { x^{2}-2x-15 = 0 } }$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual resolvemos empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =-2 y c = -15 }$

$\large\textsf{Para resolver para x y hallar los valores de la coordenada desconocida }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{ (-2)^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -15) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{4- 4\ . \ -15 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{4+ 60 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{64 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm \sqrt{8^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 2 \pm8 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = 1\pm4 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 5,-3 }}$

$\large\textsf {Se toman los dos valores de x para la coordenada desconocida }$

Por tanto hay 2 valores para la abscisa del punto B que son ambas soluciones válidas

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{x_{2} = 5 \ \ \ \ x_{2} = -3 }}$

Por tanto se obtienen 2 soluciones para el punto extremo B

Teniendo

$\large \textsf{B (5,-1)}$

$\large \textsf{B (-3,-1)}$

Concluyendo que el punto extremo B tiene a 5 y a -3 como valores de abscisa por tanto se obtienen los puntos extremos B (5,-1) y B (-3, -1)  que satisfacen al ejercicio planteado

Se agrega gráfico para mejor compresión del ejercicio propuesto