Question

Ayuda pro favor
Los cables de suspensión de un puente tienen forma de parábola. Se encuentra a 50 pies por encima del pavimento en las torres del puente y a los pies por encima de la misma de centro del puente. El pavimento sobre el puente tiene una longitud de 200pies y a lo largo del puente se encuentra espaciados cables verticalmente cada 20pies.
Calcula
La longitud de los cables verticales??

Con el proceso por favor
Gracias

Answer 1

Si los cables siguen una trayectoria en forma de parábola, significa que su altura respecto de la calzada sigue una función de este tipo:

$h(x)=ax^2+bx+c$

En las torres está a 50ft de altura y en el medio a 10ft. Para simplificar el cálculo vamos a centrar la parábola en el eje y de modo que tendrá la forma:

$y=ax^2+c$

Porque en una parábola con centro en el eje de ordenadas, la abscisa del vértice es:

$x_{v}=-\frac{b}{2a}=0=>b=0$

De este modo la posición x=0 queda en el centro del puente. Por ende si en el vértice que está en x=0 la altura es 10ft entonces;

$10ft=0^2+c=0+c=>c=10ft.$

Si la longitud es 200ft significa que, al ser la parábola una curva simétrica respecto a su eje, del centro a cada torre la distancia es 100ft. Entonces:

$50ft=a.(100ft)^2+10ft\\40ft=a.(100ft)^2\\a=\frac{40ft}{(100ft)^2}= 0,004$

Con esto la ecuación de la altura de los cables en función de la posición respecto del centro del puente queda:

$h(x)=(0,004x^2+10)ft$

Para hallar la cantidad de tensores vamos a dividir la longitud del puente por la separación entre ellos. Nuestro puente tiene:

$n=\frac{200ft}{20ft}=10$

tensores intermedios, cuya longitud vamos a calcular hallando el valor de la curva cada 20ft, como la curva es simétrica alcanza con hallar los primeros 5.

$y_{1}=0,004.(20ft)^2+10ft=11,6ft\\y_{2}=0,004.(40ft)^2+10ft=16,4ft\\y_{3}=0,004.(60ft)^2+10ft=24,4ft\\y_{4}=0,004.(80ft)^2+10ft=35,6ft\\y_{5}=0,004.(100ft)^2+10ft=50ft$

Los otros 5 tensores tendrán iguales longitudes en sentido ascendente desde el centro hacia la otra torre ya que la curva es simétrica respecto de su eje que está en el centro del puente.