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P ( A ) = 0,6; P( B )= 0,3 y P ( A ∩ B ) = 0,2.¿Cuál es la probabilidad de P(A/B)?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos
el siguiente diagrama de Venn.
Ω ❘
A B
La ´area en A o B es igual a la suma de las
dos ´areas. Entonces, interpretando probabilidad como ´area, concluimos que
P(A o B) = P(A) + P(B).
239
En el caso m´as general, tenemos el siguiente
diagrama Venn.
Ω ❘
A B
Vemos que la ´area contenida en el suceso A o B
es igual a la ´area en A m´as la ´area en B menos
la ´area en A y B. Entonces, tenemos la f´ormula
general.
Para dos sucesos A y B, se tiene la ley de
adici´on:
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
240
Observamos tambi´en que se tiene P(A y B) ≤
m´ın{P(A), P(B)} y P(A o B) ≥ m´ax{P(A), P(B)}.
Ejemplo 115 Supongamos que se lanza un dado equilibrado dos veces. Sea A el suceso de
que la suma de las dos tiradas es 6 y B el suceso de que la diferencia absoluta entre las dos
tiradas es igual a 2.
El espacio muestral es Ω = {(1, 1), (1, 2) ..., (6, 6)}
contiene 36 sucesos elementales equiprobables.
Luego
A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
B = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)}.
Entonces P(A) = 5
36 y P(B) = 8
36.
Directamente, tenemos
A o B = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5),
(4, 2), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (6, 4)}
y luego P(A o B) = 11
36.
241
Adem´as A y B = {(2, 4), (4, 2)} que implica
que P(A y B) = 2
36.
Entonces, aplicando la f´ormula
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
=
5
36 + 8
36 − 2
36
=
11
36
Ejemplo 116 Hay 15 cl´ınicas en una ciudad.
De ellas, 6 no cumplen las reglas sanitarias y
8 no cumplen los requisitos de seguridad. 5
cl´ınicas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas sanitarias.
Si se elige una cl´ınica para inspeccionar al azar,
¿cu´al es la probabilidad de que cumpla ambos
reglamientos?
242
Sea A el suceso de que cumple las reglas sanitarias y B el suceso de que cumple los requisitos de seguridad.
Si elegimos una cl´ınica al azar, tenemos
P(A¯) = 6
15
P(B¯) = 8
15
P(A¯ y B¯) = 5
15
Deducimos que P(A)=1 − P(A¯) = 9
15 y tambi´en que P(B)=1 − P(B¯) = 7
15.
Ahora miramos el diagrama de Venn.
243
Ω ❘
A o B
A¯ y B¯
Observamos que (A o B) ∪ (A¯ y B¯)=Ω y tambi´en los dos sucesos son incompatibles. Luego
P(A o B)=1 − P(A¯ y B¯) = 10
15
Ahora necesitamos calcular P(A y B).
Recordamos que
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)
que implica que P(A y B) = 9
15 + 7
15 − 10
15 =
6
15 = 2
5.
Explicación paso a paso: