Matemáticas, pregunta formulada por kevoo3, hace 1 año

ayuda porfavor tema optimización

Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
2
Veamos:  1\L \equiv 1\text{ dm}^3
Sea r el radio de la base y h la altura, calculemos

1) el volumen del cilindro
                                        V=\pi r^2h

2) el área de la hojalata sin tapa
                                 A=\pi r^2+2\pi r h

3) Por dato tenemos
                               1\text{ dm}^3=\pi r^2h

hay que deshacernos de una variable, digamos de h
                           h=\dfrac{1}{\pi r^2}\text{ dm}

4) reemplacemos (3) en (2)

                      A(r)=\pi r^2+2\pi r \cdot \dfrac{1}{\pi r^2}\\ \\
A(r)=\pi r^2+ \dfrac{2}{r}

5) Hallemos el mínimo valor de A

A(r)=\pi r^2+ \dfrac{2}{r}\\ \\ \\
\dfrac{dA}{dr}=2\pi r-\dfrac{2}{r^2}\\ \\ \\
\texttt{Puntos cr\'iticos (para r\ \textgreater \ 0): }\\ \\
2\pi r-\dfrac{2}{r^2}=0\\ \\ \\
r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\\ \\
\texttt{Si }0\ \textless \ r\ \textless \ \sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\Longrightarrow A'(r)\ \textless \ 0\\ \\ \\
\texttt{Si }r\ \textgreater \ \sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}}\Longrightarrow A'(r)\ \textgreater \ 0\\ \\ \\
\texttt{Entonces }r=\sqrt[3]{\dfrac{1}{\pi}} \texttt{ es un punto de extremo relativo, o m\'as}\\ \texttt{espec\'ificamente es un punto de m\'inimo.}

6)  Por ende las dimensiones son

                                   \boxed{\boxed{r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}\text{ dm}=h}}
Otras preguntas