Question

AYUDA PORFAVOR, ES PARA HOY

Answer 1

La integral doble definida de la función es $\pi(\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2})$

¿Como pasar a coordenadas polares?

Para resolver esta integral, un método más sencillo es el de las coordenadas polares. Donde vamos a tener en cuenta las siguientes equivalencias:

$r^2=x^2+y^2\\dA=rd\theta$

Donde las variables son ahora la distancia al origen 'r' y el ángulo del radio vector respecto al eje horizontal positivo $\theta$. De esta forma la integral queda:

$\int\limits^{}_{}\int\limits^{}_D {e^{-r^2}} \, rd\theta$

Y la curva frontera de la región, $x=\sqrt{4-y^2}$ pasa ahora a tener la expresión r=2. Como el recinto (graficado abajo) está limitado por esta curva y el eje de ordenadas, el ángulo $\theta$ irá entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$.

¿Cómo calcular la integral en coordenadas polares?

Ahora la integral definida quedó de esta forma:

$\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}\int\limits^{2}_{0} {r.e^{r^2}} \, drd\theta =\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} {[\frac{e^{r^2}}{2}]^{2}_0} \, d\theta =\int\limits^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}} (\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2}) \, d\theta \\\\=[(\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2})\theta]^{\frac{\pi}{2}}_{-\frac{\pi}{2}}=\pi(\frac{e^4}{2}-\frac{1}{2})$

En este link hay más ejemplos de aplicación de coordenadas polares https://brainly.lat/tarea/24794092