Question

Ayuda porfavor

¿Es el conjunto de pares ordenados (x y) en el cual 2 pares distintos no tienen el mismo primer numero?

a)Relación
b)Funcion
c)Axioma
d)Teorema​

Answer 1

los matem´aticos franceses Baire, Borel y Lebesgue, indujeron a Zermelo a proponer

un sistema axiom´atico para la teor´ıa de conjuntos de Cantor que, por una parte,

fuera lo suficientemente restrictivo, como para evitar la reproducci´on, en el mismo,

de las conocidas paradojas conjuntistas y, por otra, fuera lo suficientemente potente, como para preservar los resultados fundamentales obtenidos por Cantor y otros,

demostr´andolos a partir de principios expl´ıcitos, y a˜nadir otros resultados nuevos,

aunque, como demostraron Fraenkel y Skolem, el sistema axiom´atico de Zermelo no

ten´ıa la suficiente potencia como para demostrar la existencia de ciertos conjuntos

e.g., el conjunto { Subn

(N) | n ∈ N }, y por ello, estos dos matem´aticos tuvieron

que a˜nadir el esquema axiom´atico de reemplazo.

El principio limitativo mediante el cual, Zermelo, consigui´o, aparentemente, eliminar las paradojas conjuntistas fue el esquema axiom´atico de separaci´on, que le

permit´ıa, a partir de un conjunto ya dado y de una proposici´on bien definida, separar del conjunto la parte formada por todo aquello que cumpliera la proposici´on

bien definida en cuesti´on. Pero la formulaci´on que de ´el di´o Zermelo fue insatisfactoria, debido a que estaba basada en el concepto informal de definite Eigenschaft.

Recordemos que seg´un Zermelo:

Una cuesti´on o afirmaci´on E, se dice que est´a bien definida si las relaciones fundamentales del dominio (i.e., las de la forma a ∈ b), en virtud

de los axiomas y de las leyes l´ogicas universalmente v´alidas, determinan sin arbitrariedad su validez o invalidez. As´ımismo, una “funci´on

proposicional”E(x), en la que el t´ermino variable x tiene como dominio de variaci´on una clase K, se dice que est´a bien definida si est´a bien

definida para cada uno de los indiv´ıduos de la clase K.

Posteriormente, el esquema axiom´atico de separaci´on fue correctamente enunciado por parte de Fraenkel y Skolem, independientemente uno de otro, y, por lo

que respecta a Skolem, haciendo uso de la l´ogica de predicados de primer orden con

igualdad, como afirmando que, dada una f´ormula de la teor´ıa de conjuntos φ, con

al menos una variable libre, y un conjunto A, existe el subconjunto de A formado

por los miembros de A que cumplen la condici´on φ.

2.6. El esquema axiom´atico de separaci´on.

Esquema axiom´atico de separaci´on. Si la f´ormula φ(x, t[n]) es tal que sus

variables libres son x, t0,. . . , tn−1 y en ella no ocurre B, entonces, para cualesquiera

conjuntos t0,. . . , tn−1 y A, existe un conjunto B cuyos miembros son exactamente

aqu´ellos conjuntos x ∈ A tales que φ(x, t0, . . . , tn−1):

∀t0, . . . , tn−1 ∀A ∃B ∀x ( x ∈ B ↔ ( x ∈ A ∧ φ(x, t0, . . . , tn−1 ))).

La restricci´on impuesta a B, en el enunciado del esquema axiom´atico de separaci´on, de que no ocurra en la f´ormula φ(x, t0, . . . , tn−1), elimina las definiciones auto-referenciales de los conjuntos. As´ı, e.g., si la f´ormula φ fuera x ̸∈ B,

entonces la existencia de un conjunto no vac´ıo A entrar´ıa en contradicci´on con

∃B ∀x ( x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ x ̸∈ B )), ya que entonces x ∈ B si y s´olo si x ̸∈ B, por

cumplirse que x ∈ A.

Proposici´on 2.6.1. Sea φ(x, t0, . . . , tn−1) una f´ormula cuyas variables libres sean

x, t0,. . . , tn−1 y en la que no ocurra B. Entonces para cualesquiera conjuntos

t0,. . . , tn−1 y A, existe un ´unico conjunto B cuyos miembros son precisamente

aquellos conjuntos x ∈ A tales que φ(x, t0, . . . , tn−1). Denotamos a tal conjunto por

{ x ∈ A | φ(x, t0, . . . , tn−1) }.

Demostraci´on. Sea φ(x, t0, . . . , tn−1) una f´ormula cuyas variables libres sean x,

t0,. . . , tn−1 y en la que no ocurra B . Entonces, por el esquema axiom´atico de

separaci´on, dados los conjuntos t0,. . . , tn−1 y A, hay al menos un conjunto B cuyos