Question

AYUDA PORFA¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ :v

Answer 1

Se comprueban mediante el uso de las identidades fundamentales de la trigonometría y razones trigonométricas recíprocas.

Explicación paso a paso:

01   Demostrar:        Secθ  -  Senθ Tgθ  =  Cosθ

Usando razones recíprocas operamos en el lado izquierdo

$\dfrac{1}{Cos\theta}~-~(Sen\theta)(\dfrac{Sen\theta}{Cos\theta})~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{1~-~Sen^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad\dfrac{Cos^2\theta}{Cos\theta}~=~Cos\theta\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Cos\theta~=~Cos\theta}$

02   Demostrar:        (1  -  Cos²x)(1  +  Tg²x)  =  Tg²x

Usando la segunda identidad y las razones recíprocas operamos en el lado izquierdo

$(1~-~Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow\quad (1)(Sec^2x)~-~(Cos^2x)(Sec^2x)~=~Tg^2x\quad\Rightarrow$

$Sec^2x~-~1~=~Tg^2x\qquad\Rightarrow\qquad \bold{Tg^2x~=~Tg^2x}$

03   Reducir:        $\dfrac{ctg^2x}{1~+~cscx}~+~1$

Con la tercera identidad fundamental y algebra básica procedemos a reducir la expresión

$\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~\dfrac{(cscx~-~1)(cscx~+~1)}{1~+~cscx}~+~1~=~(cscx~-~1)~+~1\qquad\Rightarrow$

$\bold{\dfrac{csc^2x~-~1}{1~+~cscx}~+~1~=~cscx}$

La opción correcta es la marcada con la letra  B

A)  ctgx            B)  cscx            C) senx            D)  cosx            E)  tgx

04   Reducir:        $\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}$

Aplicando relaciones recíprocas y la segunda identidad fundamental logramos reducir la expresión

$\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~(sec\beta)(sec\beta)~-~(tg\beta)(tg\beta)~-~(sen\beta)(sen\beta)~\Rightarrow$

$\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~sec^2\beta~-~tg^2\beta~-~sen^2\beta\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{sec\beta}{cos\beta}~-~\dfrac{tg\beta}{ctg\beta}~-~\dfrac{sen\beta}{csc\beta}~=~1~-~sen^2\beta~=~\bold{cos^2\beta}$

La opción correcta es la marcada con la letra  C

A)  sen²β                B)  tg²β                C) cos²β                D)  csc²β

05   Simplificar la expresión:        $\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}$

Con la primera identidad fundamental y las relaciones recíprocas procedemos a simplificar la expresión

$\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cosx~+~senx\dfrac{senx}{cosx}}{senx\dfrac{1}{cosx}}~=~\dfrac{\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{cosx}}{\dfrac{senx}{cosx}}\qquad\Rightarrow$

$\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~\dfrac{cos^2x~+~sen^2x}{senx}~=~\dfrac{1}{senx}\qquad\Rightarrow$

$\bold{\dfrac{cosx~+~senxtgx}{senxsecx}~=~cscx}$

La opción correcta es la marcada con la letra  B

A)  1            B)  cscx            C)  - 1            D)  ctgx            E)  secx