Ayuda por fisss! :')
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Podrías contarlos uno a uno, y obtendrías que son 16, pero hay una solución general que te dice cuántos subconjuntos tiene cualquier conjunto.
Dado un conjunto A de cardinal n (siendo el cardinal la cantidad de elementos que tiene A ), el número de subconjuntos de A es 2n .
Veamos por qué.
Para verlo pensemos en que queremos montar un subconjunto de A . Toma un elemento de A (llamémoslo x ). Tienes que decidir si estará o no en tu subconjunto, por lo que hay dos opciones: o x está en tu subconjunto o no está.
Toma otro elemento distinto (llamémoslo y ). De nuevo, tienes que decidir si estará o no en tu subconjunto, por lo que vuelve a haber dos opciones. Sin embargo, antes había dos opciones para x , por lo que realmente tenemos que tener en cuenta que cuando estamos decidiendo qué hacer con y , tal vez estemos en la opción en la que habíamos cogido x antes, o tal vez estemos en la opción en la que no cogimos x . Y en ambos casos podemos decidir si metemos y o no. Entonces por cada opción que teníamos con x hay dos opciones para y . Esto es un total de 2·2 = 4 opciones para decidir si metemos x y si metemos y .
Si tomamos un elemento más (llamémoslo z ), volvemos a tener que decidir si estará o no en nuestro subconjunto. Pero, como antes, hay que pensar si en los pasos anteriores habíamos decidido meter x o y . Hemos dicho que había 4 opciones para decidir si meter x o y , y por cada uno de esos cuatro casos podemos decidir que metemos z o que no metemos z . Por tanto, por cada caso de x e y hay dos opciones para z . Esto es un total de 4·2 = 8 opciones para decidir si metemos x , si metemos y y si metemos z .
Espero que ya se entienda lo que está pasando. Por cada elemento que hay en el conjunto A tenemos que decidir si lo metemos o no en nuestro subconjunto (tenemos dos opciones), y haciendo esto multiplicamos el número de casos por 2, ya que elegir si está o no un elemento no afecta a que elijamos si está o no cualquier otro.
Como A tiene n elementos, habrá que decidir n veces, así que estamos multiplicando por 2 n veces. Entonces el número de subconjuntos de A es 2⋅2⋯2n veces=2n .
Explicación paso a paso:
Nota: Fíjate que esto también funciona para el conjunto vacío {} , que tiene 0 elementos. Su único subconjunto es él mismo, {} , y 20=1 .