Question

Ayuda por fisss! :')​

Answer 1

Respuesta:

Podrías contarlos uno a uno, y obtendrías que son 16, pero hay una solución general que te dice cuántos subconjuntos tiene cualquier conjunto.

Dado un conjunto  A  de cardinal  n  (siendo el cardinal la cantidad de elementos que tiene  A ), el número de subconjuntos de  A  es  2n .

Veamos por qué.

Para verlo pensemos en que queremos montar un subconjunto de  A . Toma un elemento de  A  (llamémoslo  x ). Tienes que decidir si estará o no en tu subconjunto, por lo que hay dos opciones: o  x  está en tu subconjunto o no está.

Toma otro elemento distinto (llamémoslo  y ). De nuevo, tienes que decidir si estará o no en tu subconjunto, por lo que vuelve a haber dos opciones. Sin embargo, antes había dos opciones para  x , por lo que realmente tenemos que tener en cuenta que cuando estamos decidiendo qué hacer con  y , tal vez estemos en la opción en la que habíamos cogido  x  antes, o tal vez estemos en la opción en la que no cogimos  x . Y en ambos casos podemos decidir si metemos  y  o no. Entonces por cada opción que teníamos con  x  hay dos opciones para  y . Esto es un total de 2·2 = 4 opciones para decidir si metemos  x  y si metemos  y .

Si tomamos un elemento más (llamémoslo  z ), volvemos a tener que decidir si estará o no en nuestro subconjunto. Pero, como antes, hay que pensar si en los pasos anteriores habíamos decidido meter  x  o  y . Hemos dicho que había 4 opciones para decidir si meter  x  o  y , y por cada uno de esos cuatro casos podemos decidir que metemos  z  o que no metemos  z . Por tanto, por cada caso de  x  e  y  hay dos opciones para  z . Esto es un total de 4·2 = 8 opciones para decidir si metemos  x , si metemos  y  y si metemos  z .

Espero que ya se entienda lo que está pasando. Por cada elemento que hay en el conjunto  A  tenemos que decidir si lo metemos o no en nuestro subconjunto (tenemos dos opciones), y haciendo esto multiplicamos el número de casos por 2, ya que elegir si está o no un elemento no afecta a que elijamos si está o no cualquier otro.

Como  A  tiene  n  elementos, habrá que decidir  n  veces, así que estamos multiplicando por 2  n  veces. Entonces el número de subconjuntos de  A  es  2⋅2⋯2n veces=2n .

Explicación paso a paso:

Nota: Fíjate que esto también funciona para el conjunto vacío  {} , que tiene 0 elementos. Su único subconjunto es él mismo,  {} , y  20=1 .