Question

Ayuda por favor.
Verifique que la derivada de direccional de la función definida por: F(x,y,z) = -\frac{1}{x^2+y^2+z^2} en la dirección del vector normal a la superficie definida por G(x,y,z) = x^{2} +y^{2} - 3z^{2} = 0, es nula en todo punto de esa superficie.

Answer 1

(1) Hallemos el vector normal a la superficie dada

$\vec{n}=\dfrac{\nabla G}{\|\nabla G\|}\\ \\ \\ \vec{n}=\dfrac{(G_x,G_y,G_z)}{\sqrt{G_x^2+G_y^2+G_z^2}}\\ \\ \\ \vec{n}=\dfrac{(2x,2y,-6z)}{\sqrt{4x^2+4y^2+36z^2}}\\ \\ \\ \vec{n}=\dfrac{(x,y,-3z)}{\sqrt{x^2+y^2+9z^2}}$


(2) Hallemos la derivada  de  F en dirección de $\vec{n}$ en un punto arbitrario $(x,y,z)\in G$

$D_{\vec{n}}F=\nabla F\cdot \vec{n}\\ \\ D_{\vec{n}}F=\dfrac{2}{(x^2+y^2+z^2)^2}(x,y,z)\cdot \dfrac{(x,y,-3z)}{\sqrt{x^2+y^2+9z^2}}\\ \\ \\ D_{\vec{n}}F=\dfrac{2(x^2+y^2-3z^2)}{(x^2+y^2+z^2)^2\sqrt{x^2+y^2+9z^2}}\\ \\ \\ \texttt{Como }(x,y,z)\in G\texttt{ entonces }x^2+y^2-3z^2=0\texttt{ es decir: } \\ \\ \hspace*{4cm}\boxed{D_{\vec{n}}F=0}$