Question

¡AYUDA POR FAVOR URGENTE ! los lados de un triangulo son números naturales consecutivos y el ángulo mayor es el doble del menor. hallar la suma de los lados

Answer 1

Respuesta:

R. La suma de los lados es 15 unidades

Explicación paso a paso:

Paso 1. Dibujamos el triángulo ABC. El problema dice que sus lados son números naturales consecutivos, es decir, el primer número es x o sea el lado menor; el lado mediano es x+1  y el lado mayor es x+2 Ubicamos cada valor en cada lado (Mira la figura 1,  de las imágenes que te adjunto)

Paso 2. El problema dice que el ángulo mayor es el doble del menor. El ángulo mayor es el que se opone al lado mayor. Por tanto, en nuestra figura es el ángulo con vértice A, pues se opone al lado x+2. El ángulo menor es el que se opone al lado menor. Por tanto el ángulo menor es el del vértice C que se opone al lado x. El ángulo menor es θ, por tanto y según el problema, el mayor será 2θ  (Mira la figura 2. Las flechas te indican las oposiciones)

Paso 3. Ante un triángulo cuyos ángulos están en relación de 1 a 2, es conveniente usar una ceviana como trazo auxiliar. En un triángulo se llama ceviana, a cualquier segmento que una un vértice con un punto cualquiera del interior del lado opuesto. Trazamos la ceviana interior BD con la intención de formar dos triángulos isósceles y así ganar datos; es decir formo los triángulos isósceles ABD y DBC. Pongo la condición de que el ángulo DBC valga θ. (Mira la figura 3)

Paso 4. Entonces el ángulo ADB o BDA vale 2θ, porque es “cola de ratón” o exterior al triángulo BDC y sabemos que el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. Además, si el triángulo ABD es isósceles y su lado AB es x, entonces el lado BD también será x. E igual lógica seguimos con el triángulo DBC, pues si es isósceles, tiene dos lados iguales, es decir, si el lado BD vale x, entonces el lado DC también vale x, por lo cual, el segmento AD valdrá 1, pues todo el lado AC vale x+1 y ya vemos como AC está compuesto por AD y DC. (Mira la figura 4)

Paso 5. Ahora pensemos en aplicar el recurso de la semejanza. Para eso dibujaremos en el lado izquierdo un triángulo igual al triángulo DBC. Prolongamos el lado AC hasta un punto E y trazamos una ceviana exterior para obtener el triángulo EBA. Debido a que DBC es igual al triángulo EBA, entonces el ángulo EBA vale θ y el ángulo BEA también vale θ. Algo similar ocurre con los lados: si el lado BC vale x+2, entonces el lado BE también valdrá x+2.  Y si el lado DC vale x, entonces el lado EA también valdrá x (Mira la figura 5)

Paso 6. Observamos el triángulo grande EBC y encontramos que tiene dos ángulos θ, y observamos el triángulo chico DBC y también encontramos que tiene dos ángulos θ, por tanto dichos triángulos son semejantes: ΔEBC~ΔDBC.  Por principio de semejanza, los lados de esos triángulos deben ser proporcionales. Entonces en el triángulo EBC, tenemos que su lado mayor es EC y que vale 2x+1. Y en el triángulo chico DBC, tenemos que su lado mayor es el lado BC ser  y que vale x+2.  Análogamente, tenemos que en el triángulo grande EBC su lado menor es EB (o podría también ser BC porque son lados iguales) y que vale x+2. Y en el triángulo chico DBC tenemos que su lado menor es DC y que vale x. (Mira la figura 6)

Por tanto, podemos plantear la siguiente proporción:

$\frac{2x+1}{x+2}=\frac{x+2}{x}$

Operamos. Multiplicamos en cruz e igualamos:

$x(2x+1)=(x+2)(x+2)$

$2x^{2}+x=x^{2}+4x+4$

Trasponemos términos, reducimos semejantes e igualamos a cero

$x^{2}-3x-4$

Resolvemos la ecuación cuadrática y obtenemos dos raíces.

X=-1,  X=4

Tomamos el valor de 4, porque uno negativo no tendría sentido

Si son consecutivos, entonces los números son 4, 5 y 6

Los lados suman: 4+5+6= 15  unidades