Ayuda, por favor. Tema: Relaciones de equivalencia. Necesito la demostración.
Respuestas a la pregunta
Hola, aquí va la respuesta
(a,b) R (c,d) ⇔ a + d= b + c Donde: R esta en N²
Recordemos que una relación es de equivalencia si cumple que:
- Es una relación reflexiva
- Es una relación transitiva
- Es una relación simétrica
Vamos con las pruebas
1) R es reflexiva ⇔ (a,b)R(a,b) ∀ (a,b) ∈ N²
Como a + b= b + a, entonces hemos concluido que:
(a,b)R(a,b) ∀ (a,b) ∈ N²
Si cumple que es reflexiva
2) R es simétrica⇔ (a,b)R(c,d) ⇒ (c,d)R(a,b)
Si (a,b)R(c,d) es lo mismo que decir a+d= b+ c
Si escribimos:
c + b= d + a Entonces se cumple que:
(c,d)R(a,b)
Si cumple que es simétrica
3) R es transitiva ⇔ [(a,b)R(c,d) ∧ (c,d)R(e,f) ⇒ (a,b)R(e,f)
(a,b)R(e,f) quiere decir que: a + f= b + e
Demostración:
Partiendo de:
a + d= b + c
Si sumamos "e" en ambos miembros (Propiedad uniforme)
a + d + e= b + c + e
Ahora usamos en el primer miembro la propiedad asociativa
a + (d + e) = b + c + e
Por hipótesis tenemos que:
d + e = c + f
Reemplazando:
a + c + f= b + c + e
Cancelando "c"
a +f = b + e Demostrado
Cumplen los 3, por lo tanto "R" es una relación de equivalencia
Saludoss
miga
Explicación paso a paso:
Dónde R está en N espero que te ayude a