Question

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Answer 1

Consideramos $f(x)=\frac{1}{4}x^{4} +\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+3$. Al tratarse de una función polinómica, fácilmente podemos obtener la primer derivada de esta función:

$f'(x)=x^{3}+x^{2}-2x$

Factorizando:

$f'(x)=x(x^{2}+x-2)$

Aplicando la fórmula resolvente para el término dentro del paréntesis:

$f'(x)=x[(x-1)(x+2)]$

Los puntos críticos de esta función son aquellos valores de $x$ para los cuales la $f'(x)$ pasa a valer cero. Fácilmente puede verse, en esta última expresión, que estos valores son:

$x=0\\x=1\\x=-2$

Además, la derivada primera es:

negativa en (-∞;-2)

positiva en (-2;0)

negativa en (0;1)

positiva en (1;+∞)

(Esto se ve reemplazando la $x$ en la ecuación por valores que se encuentren en dichos intervalos.)

Por oscilar el signo de la derivada primera entre los tres puntos críticos, se verifica que todos ellos son extremos relativos. En particular:

-2 y 1 son mínimos relativos, ya que como la derivada primera pasa de ser negativa a positiva en estos puntos, eso implica que la función original pasa de ser decreciente a creciente en dichos puntos.

0 es máximo relativo, ya que como la derivada primera pasa de ser positiva a negativa en estos puntos, eso implica que la función original pasa de ser creciente a decreciente en dichos puntos.