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“NO ESTABA MUERTO, ANDABA DE PARRANDA”
En el mes de noviembre en el bachillerato realizará una exposición de ofrendas. Cada grupo colocará una, que deberá estar pegada a una pared y cuya superficie debe estar delimitada por una cuerda de 7m de longitud, que el director entregará, la cual debe cumplir con las condiciones siguientes:
1. La superficie debe ser rectangular.
2. La cuerda solo debe abarcar tres de los cuatro lados del rectángulo.
3. No debe usarse la cuerda en el lado de la pared.
Si tuvieras que dedicar la ofrenda a algún matemático, ¿a quién elegirías?, ¿por qué?, y ¿qué colocarías en ella?
a) ¿Qué ideas puedes aportar a tu grupo para que la superficie que ocupe la ofrenda tenga el área más grande posible considerando la longitud de la cuerda y que debe estar pegada a la pared?
b) ¿Qué medidas tendría el rectángulo que ocuparía tu grupo para colocar su ofrenda?
c) ¿Cómo puedes asegurarte de que el rectángulo que trazaste es el de mayor área?
Respuestas a la pregunta
Al resolver el ejercicio se obtiene; Ideas para ocupar toda la superficie y obtener el área máxima con la cuerda:
a) Hallar una ecuación que represente el área, partiendo de la longitud de la cuerda y condiciones para su uso. Luego aplicar derivada a dicha ecuación y conseguir el valor máximo del largo y determinar el área máxima.
b) Las medidas del rectángulo que ocupara son:
- ancho = 1,75 m
- Largo = 3,5 m
c) Siempre que dicho rectángulo cumpla todas las condiciones al aplicar la derivada se obtiene el valor máximo que pueden tener los tres lados del rectángulo.
Condiciones:
1. La superficie debe ser rectangular.
2. La cuerda solo debe abarcar tres de los cuatro lados del rectángulo.
3. No debe usarse la cuerda en el lado de la pared.
El perímetro de un rectángulo es la suma de sus lado:
P = 2 ancho + largo
Siendo;
- P = 7 m
- ancho = x
Sustituir;
7 = 2x + largo
largo = 7 - 2x
El área de un rectángulo es el producto de su largo por ancho.
A = largo × ancho
Sustituir;
A = (7-2x)(x)
A = 7x - 2x²
Aplicar derivada;
A'(x) = d/dx(7x - 2x²)
A'(x) = 7 - 4x
Igual a cero;
7 -4x = 0
4x = 7
x = 7/4
x = 1,75 m (ancho)
Largo = 7 - 2(1,75)
Largo = 3,5 m
A(max) = 7(1,75) - 2(1,75)²
A(max) = 12,25 - 6,125
A(max) = 6,125 m²