Question

AYUDA POR FAVOR ME PIDEN HALLAR $\frac{3}{10}+\frac{7}{10^{3} } + \frac{15}{10^{5} } + \frac{31}{10^{7} }+...$ Y POR FAVOR NOO ESCRIBAN CUALQUIER COSA SOLO POR PUNTOS¡¡¡¡

Answer 1

Respuesta:

$\mathsf{ \frac{1 \: 490}{4 \: 851}}$

Explicación paso a paso:

$\texttt{Tener en cuenta:}$

$\displaystyle{\mathsf{ |x| > 1}}$

$\displaystyle{\mathsf{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c}{x^n} = \frac{c}{x-1}}}$

$\texttt{HALLAR}$

$\displaystyle{\mathsf{ \frac{3}{10}+\frac{7}{10^{3} } + \frac{15}{10^{5} } + \frac{31}{10^{7} }+... = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}-1}{10^{2n-1}}}}$

$\displaystyle{\mathsf{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}-1}{10^{2n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cdot 2^n -1}{10^{2n}/10} }}$

$\displaystyle{\mathsf{= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{20\cdot 2^n -10}{10^{2n}}} }$

$\displaystyle{\mathsf{= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{20\cdot 2^n -10}{100^{n}}} }$

$\displaystyle{ \mathsf{ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{20\cdot 2^n}{100^{n}} - \frac{10}{100^n} }}$

$\mathsf{=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{20 \cdot 2^n}{100^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{100^n}}$

$\mathsf{=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{20}{50^{n}}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{10}{100^n}}$

$\mathsf{= \frac{20}{50-1}- \frac{10}{100-1}}$

$\mathsf{= \frac{20}{49}- \frac{10}{99}}$

$\mathsf{= \frac{1 \: 490}{4 \: 851}}$