Matemáticas, pregunta formulada por cristianaaron1owmr1a, hace 1 año

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Integral que conduce a función trigonométrica inversa.
 \int\limits{ \frac{2 x^{3} }{2 x^{2} -4x+3} } \, dx

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
1
\displaystyle
I= \int\limits{ \frac{2 x^{3} }{2 x^{2} -4x+3} } \, dx \\ \\ \\
\texttt{Primero hay que dividir:}\\ \\
\frac{2 x^{3} }{2 x^{2} -4x+3} =x + 2+\frac{5x - 6}{2x^2 - 4x + 3}\\ \\ \\
I=\int x+2 ~dx+\int \frac{5x - 6}{2x^2 - 4x + 3}~dx\\ \\ \\
I=x^2/2+2x+\int \frac{5x - 6}{2x^2 - 4x + 3}~dx


\displaystyle
\texttt{Observamos que } d(2x^2 - 4x + 3)=(4x-4)~dx\texttt{ entonces llevamos}\\  \texttt{a }5x-6\texttt{ a esa forma }5x-6=\frac{5}{4}(4x-4)-1\\ \\ \\
I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\int \frac{4x - 4}{2x^2 - 4x + 3}~dx-\int \frac{1}{2x^2 - 4x + 3}~dx\\ \\ \\
I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\int \frac{d(2x^2 - 4x + 3)}{2x^2 - 4x + 3}-\int \frac{1}{2x^2 - 4x + 3}~dx


\displaystyle
I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\ln\left|2x^2 - 4x + 3\right|-\int \frac{1}{2x^2 - 4x + 3}~dx\\ \\ \\
I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\ln\left|2x^2 - 4x + 3\right|-\int \frac{1}{2(x-1)^2+1}~dx\\ \\ \\
I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\ln\left|2x^2 - 4x + 3\right|-\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-1)^2+\frac{1}{2}}~dx\\ \\ \\
\boxed{I=x^2/2+2x+\frac{5}{4}\ln\left|2x^2 - 4x + 3\right|-\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left[\sqrt{2}(x-1)\right]+C}
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