Question

Ayuda por favor
identidades trigonométricas
a)2 sen^2 x + cos^2 x = 1 + sen^2 x
b)sen^2 x * cos^2x + cos^4 x = 1 - $\frac{1}{cscx^{2} x}$

Answer 1

Comprobaremos que el lado izquierdo de las expresiones es igual al lado derecho, aplicando factor común e identidades trigonométricas fundamentales.

Explicación paso a paso:

a)    2 sen² x  +  cos² x  =  1  +  sen² x

El primer término de la izquierda se descompone en dos sumandos y se reagrupan de manera de formar una identidad fundamental

sen² x  +  sen² x  +  cos² x  =  1  +  sen² x        ⇒

sen² x  +  (sen² x  +  cos² x)  =  1  +  sen² x

El binomio en el paréntesis constituye la primera identidad fundamental de la trigonometría, siendo toda ella igual a  1

sen² x  +  ( 1 )  =  1  +  sen² x        ⇒          Se demuestra la identidad  a)

b)    sen² x * cos² x  +  cos⁴ x  =  1  -   $\frac{1}{Csc^2x}$

En el lado izquierdo se toma factor común

cos² x (sen² x  +  cos² x)  =  1  -   $\frac{1}{Csc^2x}$

El binomio en el paréntesis constituye la primera identidad fundamental de la trigonometría, siendo toda ella igual a  1

cos² x ( 1 )  =  1  -   $\frac{1}{Csc^2x}$

De la primera identidad despejamos el valor de Coseno cuadrado en función de Seno cuadrado

1  -  sen² x  =  1  -   $\frac{1}{Csc^2x}$

El Seno y la Cosecante son recíprocas,por tanto sus cuadrados también

1  -   $\bold{\frac{1}{Csc^2x}}$   =  1  -   $\bold{\frac{1}{Csc^2x}}$         ⇒          Se demuestra la identidad  b)