Question

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Hallar los máximos y mínimos relativos, y puntos silla de la función:
f (x,y) = x^3 + y^3 + 3xy^2 - 18(x + y)

Answer 1

Los puntos máximos y mínimos se hallan con el criterio de la segunda derivada y la matriz hessiana:

f (x,y) = x^3 + y^3 + 3xy^2 - 18(x + y)

Hallando los puntos críticos : (hallando sus derivadas parciales)

df/dx = 3x²+3y²-18 = 0           df/dy= 3y²+6yx-18 = 0
            x²+y²- 6=0                            y²+2yx-6=0

Igualando:

x²+y²=y²+2xy
x(x-2y)= 0

x=0                            
y= +-√6                 

o
x=2y
 x²+y²-18=0        
5y²=18

y=+-√6/5
x=+- 2√6/5

Analizando si son máximos o mínimos o puntos silla:

Hallando las segundas derivadas parciales y las cruzadas

d²f/dx² = 2x               d²f/dy²= 2y + 2x

d²f/dydx = 2y            d²f/dxdy= 2y 

Haciendo la matriz hessiana y evaluando en los puntos:

(0,√6) ; (0,-√6) , (2√6/5,√6/5), (-2√6/5,-√6/5) ,  (2√6/5, -√6/5), (-2√6/5, √6/5)

H(p)= | fxx    fyx|
          | fxy    fyy|

H(p)=  | 2x          2y  |
           | 2y    2y + 2x|

Reemplazando en los puntos y hallando su determinante:

H(0,√6)= -24 <0  Punto silla

H(0,-√6)= -24<0 Punto silla

H(2√6/5,√6/5)=  24 > 0 
Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo:
d²f/dx² = 2x 
d²f/dx²(2√6/5,√6/5) = 2(2√6/5) = 4√6/5 > 0, por lo tanto es un mínimo relativo

H(-2√6/5,-√6/5)= 24 > 0
Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo:
d²f/dx² = 2x 
d²f/dx²(-2√6/5,-√6/5) = 2(-2√6/5) = -4√6/5 < 0, por lo tanto es un máximo relativo

H(2√6/5,-√6/5)= 4,8 > 0
Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo:
d²f/dx² = 2x 
d²f/dx²(2√6/5,√6/5) = 2(2√6/5) = 4√6/5 > 0, por lo tanto es un mínimo relativo

H(-2√6/5,√6/5)= 4,8>0
Analizamos en fxx para ver si es un máximo o mínimo relativo:
d²f/dx² = 2x 
d²f/dx²(-2√6/5,√6/5) = 2(-2√6/5) = -4√6/5 < 0, por lo tanto es un máximo relativo

Reemplazando en f(x,y):

f (x,y) = x^3 + y^3 + 3xy^2 - 18(x + y)

f(2√6/5,√6/5)= -36√6/5
f(-2√6/5,-√6/5)=36√6/5
f(2√6/5,-√6/5)= -2,629068276
f(-2√6/5,√6/5)= 2,629068276

Tiene un máximo local en :

(-2√6/5;-√6/5;36√6/5)
(-2√6/5;√6/5; 2,629068276)

Tiene un mínimo local en :

(2√6/5;√6/5;-36√6/5)
(2√6/5;-√6/5;- 2,629068276)