Question

Ayuda por favor es urgente

Answer 1

b) Elipse.

Explicación:

Elipse :

4x² + 3y²− 8x + 12y − 32 = 0

Tenemos,

4(x²− 2x) + 3(y² + 4y) − 32 = 4(x − 1)²+ 3(y + 2)² − 48.

Es así una cuadrática dada de la elipse

(x − 1)²/12 + (y + 2)²/16 = 1 .

Luego, el centro de C = (1, −2), o semi- eixo maior ´e b = 4, o semi-eixo menor ´e a = √12 e, ainda,

c

2 = b

2 − a

2 = 16 − 12 = 4, o que implica c = 2.

Portanto, os focos s˜ao F1 = (1, −4) e F2 = (1, 0) e os v´ertices s˜ao

V1 = (1 −

√

12, −2), V2 = (1 + √

12, −2),

V3 = (1, 2) e V4 = (1, −6).

A excentricidade ´e e =

c

b =

2

4 =

1

2

.

As retas diretrizes s˜ao y − (−2) = y + 2 = ±

b

e = ±

4

1/2 = ±8. Logo,

D1 : y = −10 e D2 : y = 6 ; fim do exerc´ıcio.

N˜ao ´e mister efetuarmos as verifica¸c˜oes visto que todos os resultados est˜ao j´a provados na

teoria mas em um primeiro contato com este t´opico ´e prudente faze-las, at´e mesmo para melhor

compreens˜ao da teoria. Apresentarei as ent˜ao uma para cada caso: par´abola, elipse e hip´erbole.

Mostremos que P satisfaz a equa¸c˜ao dada se e somente se |P F2| = e|P D2|. Notemos que

esta segunda equa¸c˜ao ´e equivalente a p

(x − 1)2 + y

2 = e|y − 6| , e =

1

2

, a qual, elevando ao

quadrado, ´e equivalente a

4(x − 1)2 + 4y

2 = (y − 6)2 = y

2 − 12y + 36

ou,

4x

2 + 3y

2 − 8x + 12y − 4 + 36 = 0 , que ´e a equa¸c˜ao da elipse dada.

Observando que escolhemos o foco mais pr´oximo `a reta diretriz vemos que uma outra possibilidade para escrevermos a equa¸c˜ao da elipse , utilizando a outra reta diretriz, ´e

|P F1| = e|P D1|, pois desenvolvendo tal equa¸c˜ao obtemos

p

(x − 1)2 + (y + 4)2 =

1

2

|y + 10|

ou,

4(x − 1)2 + 4(y + 4)2 = y

2 + 20y + 100. Isto ´e,

4x

2 − 8x + 4 + 4y

2 + 32y + 64 = y

2 + 20y + 100, que ´e a equa¸c˜ao da dada elipse.

Tamb´em obtemos a equa¸c˜ao da elipse atrav´es da soma das distˆancia aos focos:

|P F1| + |P F2| = 2b. Isto ´e, p

(x − 1)2 + (y + 4)2 +

p

(x − 1)2 + y

2 = 8 pois passando o

segundo radical para o segundo membro e ent˜ao elevando ao quadrado conclu´ımos que

(x − 1)2 + (y + 4)2 = 64 − 16p

(x − 1)2 + y

2 + (x − 1)2 + y

2

e desta obtemos,

8y + 16 = 64 − 16p

(x − 1)2 + y

2 ou,

16p

(x − 1)2 + y

2 = 48−8y, que simplificando resulta : 2p

(x − 1)2 + y

2 = 6−y; mais uma

vez elevando ao quadrado chegamos `a equa¸c˜ao

4[(x−1)2+y

2

] = 36−12y+y

2

e, finalmente, expandindo esta temos mais uma vez a equa¸c˜ao

da elipse 4x

2 + 3y

2 − 8x + 12y = 32

Éxitos!...