Question

Ayuda por favor!!!

En una progresión geometrica los términos tercero y sexto son ,respectivamente,9/8 y 243/8.calcula la suma de los primeros 7 términos. (con la formula)

Answer 1

Calculo que podría hacerse por interpolación de términos de una progresión geométrica (PG).

La fórmula para interpolar "m" términos en una PG donde tomaremos como extremos a los términos que nos dan (3º y 6º) y que identificaré con las letras "a" y "b" se plantea sobre la base de hallar su razón y es:

$r= \sqrt[m+1]{ \frac{b}{a} }$

Como entre el 3º y el 6º tenemos dos términos (el 4º y el 5º), tenemos que:
m = 2
a = 243/8
b = 9/8 ... sustituyendo en la fórmula...

$r= \sqrt[2+1]{ \frac{ \frac{243}{8} }{ \frac{9}{8} } } = \sqrt[3]{ \frac{243}{9} } = \sqrt[3]{27} =3$

Si la razón es 3 ya podemos obtener los términos $a_1$  y  $a_7$ para, a continuación, poder aplicar la fórmula de suma de términos de una PG.

Sabiendo que a₃ = 9/8, dividiendo por la razón sabremos a₂ y volviendo a dividir sabremos a₁, es decir hay que dividir 2 veces por 3 que es lo mismo que dividir por 9

$a_1=\frac{9}{8} :9= \frac{1}{8}$

Acudiendo a la fórmula del término enésimo se calcula a₇
$a_n=a_1* r^{n-1} \\ \\ a_7 = \frac{1}{8} * 3^{7-1}= \frac{729}{8}$

Sabiendo a₁  y  a₇, nos vamos a la fórmula de suma de términos:

$S_n= \frac{a_n*r - a_1}{r-1} = \frac{ \frac{729}{8}*3- \frac{1}{8} }{3-1} = \frac{ \frac{2186}{8} }{2} = \frac{2186}{16}$

Que podría simplificarse pero eso ya te lo dejo a ti si lo quieres hacer. 

Saludos.