AYUDA POR FAVOR :(
Demostrar con axiomas de cuerpo, sea a = b = 2, entonces a^2 − b^2 = 0 y también a − b = 0.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
nose si sea está, El conjunto R es seguramente el conjunto m´as importante a estudiar en este curso, al punto que hemos
decidido a dedicarle su propia secci´on.
Comentemos algo de la historia de R. En algunos casos, un sistema num´erico se construye a partir de un
conjunto inicial de n´umeros y de una ecuaci´on que no puede resolverse sobre dicho conjunto inicial. Por
ejemplo, si partimos de los n´umeros naturales N, podemos construir los enteros Z a partir de la ecuaci´on
x + 1 = 0, que no tiene soluci´on en N. Se le llama -1 a la soluci´on de esta ecuaci´on y a partir de ella se
construye Z “agregando los correspondientes negativos” de los elementos de N. M´as a´un, el conjunto N cuenta
con su propia construcci´on formal, que tiene que ver con la noci´on de cardinalidad estudiada en Teor´ıa de
Conjuntos. Esto ´ultimo escapa de los objetivos de este curso, por lo que no comentaremos m´as al respecto.
Algo parecido a la construcci´on de Z pasa con la construcci´on de C. Si partimos de los n´umeros reales,
podemos construir C agregando la unidad imaginaria i =
√
−1, es decir, una de las soluciones de la ecuaci´on
x
2 + 1 = 0 (la cual no tiene soluci´on en R). Pero la pregunta que nos compete en este momento es c´omo
se construye R a partir del conjunto de n´umeros racionales Q, agregando los irracionales. Como nos cuenta
Tom Apostol en su libro Calculus. Vol 1., esto se hizo hasta hace relativamente poco, en el siglo XIX, gracias
a esfuerzos de matem´aticos como Karl Weierstrass, Georg Cantor y Richard Dedekind. Este ´ultimo propuso
un m´etodo de construcci´on de R a partir de Q al cual se le llama hoy en d´ıa cortaduras de Dedekind.
Aunque resultar´ıa interesante presentar una visi´on constructiva a la hora de definir R, la misma nos tomar´ıa
mucho m´as tiempo del que disponemos. Para prop´ositos de este curso, resulta mucho m´as pr´actico presentar
una definici´on de R por medio de teor´ıa axiom´atica, es decir, vamos a definir R como un conjunto de objetos
para el cual se asumen como ciertas una serie de afirmaciones (axiomas). Tales axiomas ser´an clasificados
en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden, y el axioma de completitud (conocido tambi´en como
axioma de continuidad o axioma del extremo superior).
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