Question

AYUDA POR FAVOR :(
Demostrar con axiomas de cuerpo, sea a = b = 2, entonces a^2 − b^2 = 0 y también a − b = 0.

Answer 1

Respuesta:

nose si sea está, El conjunto R es seguramente el conjunto m´as importante a estudiar en este curso, al punto que hemos

decidido a dedicarle su propia secci´on.

Comentemos algo de la historia de R. En algunos casos, un sistema num´erico se construye a partir de un

conjunto inicial de n´umeros y de una ecuaci´on que no puede resolverse sobre dicho conjunto inicial. Por

ejemplo, si partimos de los n´umeros naturales N, podemos construir los enteros Z a partir de la ecuaci´on

x + 1 = 0, que no tiene soluci´on en N. Se le llama -1 a la soluci´on de esta ecuaci´on y a partir de ella se

construye Z “agregando los correspondientes negativos” de los elementos de N. M´as a´un, el conjunto N cuenta

con su propia construcci´on formal, que tiene que ver con la noci´on de cardinalidad estudiada en Teor´ıa de

Conjuntos. Esto ´ultimo escapa de los objetivos de este curso, por lo que no comentaremos m´as al respecto.

Algo parecido a la construcci´on de Z pasa con la construcci´on de C. Si partimos de los n´umeros reales,

podemos construir C agregando la unidad imaginaria i =

√

−1, es decir, una de las soluciones de la ecuaci´on

x

2 + 1 = 0 (la cual no tiene soluci´on en R). Pero la pregunta que nos compete en este momento es c´omo

se construye R a partir del conjunto de n´umeros racionales Q, agregando los irracionales. Como nos cuenta

Tom Apostol en su libro Calculus. Vol 1., esto se hizo hasta hace relativamente poco, en el siglo XIX, gracias

a esfuerzos de matem´aticos como Karl Weierstrass, Georg Cantor y Richard Dedekind. Este ´ultimo propuso

un m´etodo de construcci´on de R a partir de Q al cual se le llama hoy en d´ıa cortaduras de Dedekind.

Aunque resultar´ıa interesante presentar una visi´on constructiva a la hora de definir R, la misma nos tomar´ıa

mucho m´as tiempo del que disponemos. Para prop´ositos de este curso, resulta mucho m´as pr´actico presentar

una definici´on de R por medio de teor´ıa axiom´atica, es decir, vamos a definir R como un conjunto de objetos

para el cual se asumen como ciertas una serie de afirmaciones (axiomas). Tales axiomas ser´an clasificados

en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden, y el axioma de completitud (conocido tambi´en como

axioma de continuidad o axioma del extremo superior).

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