Question

ayuda por favor con estos ejercicios de calculo diferencial. Con procedimiento y propiedad aplicada en los ejercicios. gracias.

Determine la derivada de las siguientes funciones (Ver Imagen)

Answer 1

Primero veamos algunas generalizaciones de las derivadas....entonces

$f(x)= x^{n} \\ f'(x)=n x^{n-1}$

$f(x)= k \\ f'(x)=0$
"k"..es una constante.
$f(x)= e^{x} \\ f'(x)= e^{x}$
$f(x)= ln(x) \\ f'(x)= \frac{1}{x}$
Además también debemos saber manejar algunas variantes del álgebra de Baldor..."propiedades de los exponentes"
$\sqrt[m]{ x^{n} } = x^{\frac{m}n} }$

Con todo ésto creo que vamos a poder resolver éstos ejercicios...
Nota: éstas derivadas son fáciles de comprobar, para eso es necesario usar definición de la derivada, resolviendo el límite correspondiente...(te sugiero que los resuelvas)

Entonces:

$a)f(x)=3 x^{2} -x+5 \\ f'(x)=(2)3 x^{2-1} -(1) x^{1-1} +0 \\ f'(x)=6x-1 \\ \\ b)f(x)=6 x^{2} +5x-6 \\ f'(x)=(2)6 x^{2-1} +(1)5 x^{1-1} -0 \\ f'(x)=12x+5 \\ \\ c)f(x)= x^{3} +3 x^{2} +3x+1 \\ f'(x)=(3) x^{3-1} +(2)3 x^{2-1} +(1)3 x^{1-1} +0 \\ f'(x)=3 x^{2} +6x+3 \\ \\ d)f(x)=4 x^{3} -x \\ f'(x)=(3)4 x^{3-1} -(1) x^{1-1} \\ f'(x)=12 x^{2} -1 \\ \\ e)f(x)=x+ln(x) \\ f'(x)=(1) x^{1-1} + \frac{1}{x} \\ f'(x)=1+ \frac{1}{x}$

$f)f(x)= e^{x} - \sqrt{x} -2 \\ f(x)= e^{x}- x^{ \frac{1}{2} }-2 \\ f'(x)= e^{x} -( \frac{1}{2} ) x^{ \frac{1}{2}-1 } -0 \\ f'(x)= e^{x} - \frac{1}{2} x^{ -\frac{1}{2} } \\ f'(x)= e^{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x} }$

Y ya...fíjate que ésta última ya desarrollamos un poquito más solo para que se vea mejor...
Por último existe una generalización de la derivada de una raíz..que también puedes usar en ves de hacer ese cambio de presentación de exponente...

$f(x)= \sqrt[n]{ x^{m} } \\ f'(x)= \frac{( x^{m} )'}{n( \sqrt[n]{ x^{n-1} } )}$

Puedes usar cualquiera de los dos...

Espero te sirve y si tienes alguna duda me avisas