Question

Ayuda por favor calcular campo eléctrico neto

Answer 1

El campo eléctrico neto en el punto P debido a las dos distribuciones de carga tiene magnitud de 113N/C y dirección de 211°.

¿Cómo hallar el campo eléctrico debido a la varilla vertical?

En este caso tenemos la situación de la imagen adjunta, donde la varilla vertical está a una distancia 'd' del punto P. Podemos hallar un diferencial de longitud dl y hallar el diferencial de campo eléctrico debido a él:

$dE=k\frac{dQ}{d^2+y^2}=k\frac{\lambda.dl}{d^2+y^2}$

Como la varilla se extiende a lo largo del eje vertical positivo, se puede asumir que es dl=dy, la componente horizontal del diferencial del campo eléctrico queda:

$dE_x=k\lambda\frac{dy}{d^2+y^2}.cos(\theta)=k\lambda\frac{dy}{d^2+y^2}.\frac{d}{\sqrt{d^2+y^2}}$

Y la componente vertical del diferencial de campo eléctrico queda:

$dE_y=k\lambda\frac{dy}{d^2+y^2}.sen(\theta)=k\lambda\frac{dy}{d^2+y^2}.\frac{y}{\sqrt{d^2+y^2}}$

La componente horizontal del campo eléctrico queda:

$E_x=k\lambda.d\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(d^2+y^2)^{3/2}}} \, dy =k\lambda.\frac{1}{d^2}\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(1+(\frac{y}{d})^2)^{3/2}}} \, dy \\\\\frac{y}{d}=tan(u),dy=\frac{d}{cos^2(u)}= > E_x=k\lambda.\frac{1}{d^2}\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(1+tan^2(u))^{3/2}}}\frac{d}{cos^2(u)} \, du \\\\E_x=k\lambda\frac{1}{d}\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(\frac{cos^2(u)+sen^2(u)}{cos^2(u)})^{3/2}}\frac{1}{cos^2(u)}} \, du$

$E_x=k\lambda.\frac{1}{d}\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(\frac{1}{cos^3(u)})}\frac{1}{cos^2(u)}} \, du \\\\E_x=k\lambda.\frac{1}{d}\int\limits^{0,3m}_0 {cos(u)} \, du=k\lambda.\frac{1}{d}[-sen(u)]^{0,3m}_0\\\\u=tan^{-1}(\frac{y}{d})\\\\E_x=k\lambda.\frac{1}{d}.[sen(tan^{-1}(\frac{y}{d}))]^{0,3m}_0\\\\E_x=9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}\frac{1}{0,4m}.4,8\times 10^{-9}\frac{C}{m}(sen(tan^{-1}(\frac{y}{0,4m})))^{0,3m}_0\\\\E_x=64,8\frac{N}{C}$

Y la componente vertical del campo eléctrico debido a la varilla vertical es:

$E_y=k\lambda\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{y}{(d^2+y^2)^{3/2}}} \, dy\\\\u=y^2+d^2, du=2ydy\\\\E_y=\frac{1}{2}k\lambda\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{u^{3/2}}} \, du\\\\E_y=-k\lambda[u^{-1/2}]^{0,3m}_0=-k\lambda[\frac{1}{\sqrt{d^2+y^2}}]^{0,3m}_0\\\\E_y=-57,6\frac{N}{C}$

La varilla horizontal producirá en el punto P un campo eléctrico horizontal cuyo diferencial es:

$dE=k\frac{\lambda.dx}{(0,4-x)^2}$

Y el valor de dicho campo eléctrico es:

$E_2=k\lambda\int\limits^{0,3m}_0 {\frac{1}{(0,4m-x)^2}} \, dx =k\lambda[\frac{1}{0,4m-x}]^{0,3m}_0 \, dx \\\\E_2=9\times 10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}.(-2,4\times 10^{-9}\frac{C}{m}).7,5\frac{1}{m}\\\\E_2=-162\frac{N}{C}$

Entonces, la componente horizontal neta del campo eléctrico es $E_{xT}=E_x+E_2=64,8\frac{N}{C}-162\frac{N}{C}=-97,2\frac{N}{C}$

La magnitud del campo eléctrico neto en P Es:

$|E|=\sqrt{(-57,6\frac{N}{C})^2+(-97,2\frac{N}{C})^2}=113\frac{N}{C}\\\\\theta=tan^{-1}(\frac{-57,6\frac{N}{C}}{-97,2\frac{N}{C}})=211\°$

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