Question

ayuda por favor ayuda :(

Answer 1

Respuesta:

$\mathsf{ N = 672 }$

Explicación paso a paso:

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Parte teórica:

Si tienes un número que está descompuesto en factores primos:

$\mathsf{ N = a^{\alpha} \cdot b^{\beta} \cdot c^{\gamma} \cdot ...}$

Entonces la suma de divisores (SD) es:

$\mathsf{ SD = \left ( \frac{a^{ \alpha +1} -1 }{a-1} \right ) \left ( \frac{b^{ \beta +1} -1 }{b-1} \right ) \left ( \frac{c^{ \gamma +1} -1}{c-1} \right )}$

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Problema:

Hallar el número N = 2⁵×a×b , sabiendo que "a" y "b" son números primos mayores que 2 y que la suma de todos sus divisores es el triple de él

$\mathsf{ \left ( \frac{2^{5+1} -1 }{2-1} \right ) \left ( \frac{a^{1+1} -1 }{a-1} \right ) \left ( \frac{b^{1+1} -1}{b-1} \right )= 3N }$

$\mathsf{ \left ( \frac{2^{6} -1 }{1} \right ) \left ( \frac{a^{2} -1 }{a-1} \right ) \left ( \frac{b^{2} -1}{b-1} \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ \left ( 64 -1 \right ) \left ( \frac{(a + 1)(a - 1) }{a-1} \right ) \left ( \frac{(b + 1)(b - 1)}{b-1} \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ \left ( 63 \right ) \left ( a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 3 \cdot 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ \left ( \frac{63}{3} \right ) \left ( a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ \left ( 21 \right ) \left ( a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ \left ( 3 \cdot 7 \right ) \left ( a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b }$

Recordar que "a" es un número primo , y que todos los números primos son impares, pero si le sumo una unidad (a+1) el resultado será un número par , lo mismo pasa para "b"

Analicemos está ecuación

$\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot \left ( a + 1 \right ) \left ( b + 1 \right )= 2^5 \cdot a \cdot b }$

Para que la expresión de la izquierda sea igual a la expresión de la derecha , debe tener dos factores primos (a y b) , pero el (a+1) y (b+1) son pares , entonces la única opción es que esos dos factores primos sean 3 y 7

$\mathsf{ a = 3 \: \: \: \: \: \: b = 7 }$

La ecuación se puede comprobar:

$\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot \left ( 3 + 1 \right ) \left ( 7 + 1 \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7 }$

$\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot \left ( 4 \right ) \left ( 8 \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7 }$

$\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot \left ( {2}^{2} \right ) \left ( {2}^{3} \right )= 2^5 \cdot 3 \cdot 7 }$

$\mathsf{ 3 \cdot 7 \cdot {2}^{5}= 2^5 \cdot 3 \cdot 7 }$

Hallar el número:

$\mathsf{ N = 2^5 \cdot a \cdot b }$

$\mathsf{ N = 32 \cdot 3 \cdot 7 }$

$\mathsf{ N = 672 }$

El número es 672