Question

ayuda ples razones trigonometricas ​

Answer 1

El valor de x es de 12 unidades y el valor de y es de 9 unidades

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

El triángulo dado es un triángulo notable.

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben solo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y k a la vez es una constante, que una vez conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto,

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k. En donde k es siempre una constante.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Dado un triángulo rectángulo en donde conocemos el valor de la hipotenusa y de un ángulo de 53°. Se pide hallar el valor del cateto opuesto y del cateto adyacente al ángulo denotados "x" e "y" respectivamente

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallando "x"

Relacionamos los datos con el seno del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{ \bold { sen(53)\° = \frac{4}{5} }}$

$\boxed{ \bold { sen(53)\° = \frac{cateto \ opuesto}{hipotenusa} }}$

$\boxed{ \bold { sen(53)\° = \frac{x}{15 \ unidades} }}$

$\boxed{ \bold { x = 15 \ unidades \ . \ sen(53)\° }}$

$\boxed{ \bold { x = 15 \ unidades \ . \ \frac{4}{5} }}$

$\boxed{ \bold { x = 12 \ unidades }}$

Hallando "y"

Relacionamos los datos con el coseno del ángulo

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{ \bold { cos(53)\° = \frac{3}{5} }}$

$\boxed{ \bold { cos(53)\° = \frac{cateto \ adyacente}{hipotenusa} }}$

$\boxed{ \bold { cos(53)\° = \frac{y}{15 \ unidades} }}$

$\boxed{ \bold { y = 15 \ unidades \ . \ cos(53)\° }}$

$\boxed{ \bold { y = 15 \ unidades \ . \ \frac{3}{5} }}$

$\boxed{ \bold { y = 9 \ unidades }}$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

Conocemos el valor de la hipotenusa, y en un triángulo notable de 37-53, la hipotenusa siempre medirá 5k. En donde k es una constante

Planteamos

$\boxed{ \bold { 15 \ unidades = 5k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{ \bold { 5k = 15 }}$

$\boxed{ \bold { k = \frac{15}{5} }}$

$\boxed{ \bold { k = 3 }}$

El valor de la constante k es igual a 3

El cateto opuesto al ángulo notable de 53° tiene un valor de 4k, y es la incógnita "x"

$\boxed{ \bold { x = 4k }}$

Reemplazamos a la constante k

$\boxed{ \bold { x = 4 \ . \ 3 }}$

$\boxed{ \bold { x = 12 \ unidades }}$

El cateto adyacente al ángulo notable de 53° tiene un valor de 3k, y es la incógnita "y"

$\boxed{ \bold { y = 3k }}$

Reemplazamos a la constante k

$\boxed{ \bold { y = 3 \ . \ 3 }}$

$\boxed{ \bold { y = 9 \ unidades }}$

Answer 2

Respuesta:

x = 12

y = 9

Explicación paso a paso:

Utilizamos las razones trigonométricas:

15 = 5k

15 / 5 = k

3 = k

Ahora despejamos x

4k = x

4 ( 3 ) = x

12 = x

Ahora despejamos y

3k = y

3 ( 3 ) = y

9 = y