Question

Ayuda <3
El rendimiento de nafta r(en km/l) de un automovil, esta dado por :r(v)= -1/3 v2 +60v
con 0< v <180 siendo v la velocidad en km/h
A)Hallar los valores de v para los cuales el rendimiento de nafta aumenta con v y los valores de v para los cuales el rendimiento disminuye.
B)Hallar la velocidad para la cual el rendimiento es maximo.¿Cual es ese rendimiento?
C)Hacer un gráfico que represente la situación.

Answer 1

Nos dan una función que describe el rendimiento de nafta en kilómetros por litro, y nos solicitan hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y extremos, lo cual se hace mediante el análisis de la derivada, tal función es:

$r(v)=-\frac{1}{3}v^2+60v$

A) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento los da la derivada de la función, si la derivada tiene en un intervalo valores positivos la función es creciente, en cambio si la derivada en un intervalo es negativa la función es decreciente en ese intervalo. La derivada de r es:

$r'(v)=-\frac{2}{3}v+60$

Es una recta con ordenada al origen de 60, vamos a hallar los intervalos de positividad y negatividad, para lo cual hay que conocer el cero:

$-\frac{2}{3}v+60=0\\60=\frac{2}{3}v\\v=90$

La pendiente de la recta es negativa, lo cual nos dice que entre 0 y 90km/h la recta será positiva, y de 90km/h a 180km/h será negativa. Lo que se traduce en que el rendimiento de combustible aumenta con la velocidad para 0<v<90km/h, y disminuye con la velocidad para 90mk/h<v<180km/h

B) La función de rendmiento es una parábola con término cuadrático negativo, con lo cual el extremo será un máximo. Su derivada es:

$r'(v)=-\frac{2}{3}v+60$

Donde esta función sea cero está el máximo.

$0=-\frac{2}{3}v+60\\\frac{2}{3}v=60\\v=90\frac{km}{h}$

Nos da que el rendimiento máximo se da a 90km/h, este rendimiento es:

$r(90)=-\frac{1}{3}.90^2+60.90=2700\frac{km}{l}$

Nos queda que el rendimiento máximo es 2700km/l a una velocidad de 90km/h

c) En la imagen adjunta está el gráfico de la función con el máximo rendimiento (el punto (90,2700)), y en el que se pueden apreciar los intervalos de crecimiento y decrecimiento.