Question

Ayuda! Identidades, solo me faltan esas 4 :'( no he podido resolverlas

Answer 1

Para resolver las identidades trigonométricas nos valdremos de las relaciones que conocemos entre las funciones trigonométricas, las que aplicaremos en cada caso particular, el procedimiento será operar sobre el primer miembro hasta que sea igual al segundo miembro, por ejemplo:

7) La identidad a resolver es:

$(1+tg(x)+sec(x))^{2} =2(1+sec(x))(tg(x)+sec(x))$

Tenemos:

$(1+tg(x)+sec(x))^{2} =(1+tg(x)+sec(x))(1+tg(x)+sec(x))=\\(1+tg(x)+sec(x))^{2}=1+tg(x)+sec(x)+tg(x)+tg^{2}(x)+tg(x)sec(x)+sec(x)+tg(x)sec(x)+sec^{2}(x)\\(1+tg(x)+sec(x))^{2}=1+2tg(x)+2sec(x)+tg^{2}(x)+2tg(x)sec(x)+sec^{2}(x)$

De esa expresión extraemos:

$1+tg^{2}(x)=1+\frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{cos^{2}(x)+sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}=\frac{1}{cos^{2}(x)}=sec^{2}(x)$

Reemplazando en la expresión anterior:

$1+2tg(x)+2sec(x)+tg^{2}(x)+2tg(x)sec(x)+sec^{2}(x)=sec^{2}(x)+2tg(x)+2sec(x)+2tg(x)sec(x)+sec^{2}(x)=\\=2sec^{2}(x)+2tg(x)+2sec(x)+2tg(x)sec(x)=$

Ahora sacamos factor común 2 en toda la expresión:

$(1+tg(x)+sec(x))^{2}=2sec^{2}(x)+2tg(x)+2sec(x)+2tg(x)sec(x)=\\(1+tg(x)+sec(x))^{2}=2(sec^{2}(x)+tg(x)+sec(x)+tg(x)sec(x))$

Sacamos factores comunes tg(x) y sec(x)

$(1+tg(x)+sec(x))^{2}=2(tg(x)(1+sec(x))+sec(x)(1+sec(x)))$

Saco factor común (1+sec(x)):

$(1+tg(x)+sec(x))^{2}=2(tg(x)(1+sec(x))+sec(x)(1+sec(x)))\\(1+tg(x)+sec(x))^{2}=2(1+sec(x))(tg(x)+sec(x))$

8) La identidad que vamos a resolver es:

$(csc(x)-1)(1+csc(x))$

Aplicamos la diferencia de cuadrados, por la cual sean dos números a y b tenemos que:

$(a+b)(a-b)=a^{2} -b^{2}$

Y queda:

$(csc(x)-1)(1+csc(x))=csc^{2} (x)-1=$

Sabemos que:

$csc(x)=\frac{1}{sen(x)}$

Reemplazamos:

$(csc(x)-1)(1+csc(x))=\frac{1}{sen^{2} (x)}-1=\frac{1-sen^{2} (x)}{sen^{2} (x)}=\frac{cos^{2} (x)}{sen^{2} (x)}\\(csc(x)-1)(1+csc(x))=\frac{cos(x)\frac{1}{sec(x)}}{sen(x)\frac{1}{csc(x)}}=\frac{csc(x)cos(x)}{sen(x)sec(x)}$

Es lo que da la identidad. Lo del denominador es sen(x) en vez de csc(x) porque además si es csc(x) se simplificaría  con el csc(x) del numerador.

9) La identidad es:

$(1+sec(x))(sec(x)-1)=sec^{2} (x)-1=$

Sabemos que:

$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$

Queda:

$(1+sec(x))(sec(x)-1)=\frac{1}{cos^{2} (x)}-1=\frac{1-cos^{2} (x)}{cos^{2} (x)}=\frac{sen^{2} (x)}{cos^{2} (x)}\\(1+sec(x))(sec(x)-1)=\frac{sen(x)\frac{1}{csc(x)}}{cos(x)\frac{1}{sec(x)}}=\frac{sen(x).sec(x)}{cos(x).cosec(x)}$

10) La identidad es:

$\frac{sen(x)cos(x)}{1+cos(x)}-\frac{sen(x)}{1-cos(x)}$

Hacemos denominador común:

$\frac{sen(x)cos(x)}{1+cos(x)}-\frac{sen(x)}{1-cos(x)}=\frac{(1-cos(x))sen(x)cos(x)-(1+cos(x))sen(x)}{(1+cos(x))(1-cos(x))}\\\frac{sen(x)cos(x)}{1+cos(x)}-\frac{sen(x)}{1-cos(x)}=\frac{sen(x)cos(x)-sen(x)cos^{2}(x)-sen(x)-sen(x)cos(x)}{1-cos^{2} (x)}=\\\frac{sen(x)cos(x)}{1+cos(x)}-\frac{sen(x)}{1-cos(x)}=\frac{-sen(x)cos^{2}(x)-sen(x)}{sen^{2} (x)}$

Ahora aplico propiedad distributiva de la división:

$\frac{-sen(x)cos^{2}(x)-sen(x)}{sen^{2} (x)}=-(\frac{sen(x)cos^{2}(x)}{sen^{2} (x)}+\frac{sen(x)}{sen^{2} (x)})=-(\frac{cos^{2}(x)}{sen(x)}+\frac{1}{sen(x)})$

Ahora reemplazo en la expresión:

$\frac{cos(x)}{sen(x)}=cot(x); \frac{1}{sen(x)}=csc(x)$

Y queda:

$\frac{sen(x)cos(x)}{1+cos(x)}-\frac{sen(x)}{1-cos(x)}=-(\frac{cos^{2}(x)}{sen(x)}+\frac{1}{sen(x)})=-(cos(x)cot(x)+csc(x))$