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I. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones.
3^x=27
log_x4=2
e^2=x
II. Grafica la función con su respectiva tabulación.
f(x)=4^x,
f(x)=3^x,
f(x)=2^x,
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
1 Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b , si f(0) = 3 y f(1) = 4.
A Representar la función
B Indicar los intervalos en los que la imagen de la función es positiva y negativa.
Calcular los coeficientes de la función f(x)= ax + b , si f(0) = 3 y f(1) = 4.
A Representar la función es su expresión analítica y gráfica.
Primero, para encontrar el valor de b, utilicemos que f(0) = 3:
f(x) = ax+b Rightarrow f(0)=a(0)+b=3 Rightarrow b=3
Ahora para encontrar el valor de a, usemos que f(1) = 4 y que b=3 :
f(1) = a(1)+b Rightarrow f(1)=a(1)+3=4 Rightarrow a=1
Por tanto la expresión analítica es: mathbf{mathit{f(x)=x+3}}.
Para la representación gráfica, de la expresión analítica podemos deducir que la función es lineal (debido a que la potencia de x es uno), por lo tanto una recta y para construirla son suficientes dos puntos en este caso podemos considerar los ceros en los ejes, o bien retomar los puntos si f(0) = 3 y f(1) = 4 y trazar la recta que contenga a ambos, como se muestra en la siguiente gráfica:
Gráfica de la función f(x)=x+3
B Indicar los intervalos en los que la imagen de la función es positiva o negativa.
De la gráfica anterior se puede deducir que las imágenes de la función son negativas cuando x<-3 y positivas cuando x>3
Análisis de signo de las imágenes de la función f(x)=x+3
Para resolver analíticamente, primero igualamos a cero y resolvemos la ecuación:
x+3=0Rightarrow quad x=-3
Le damos dos valores uno menor que –3 y otro mayor:
f(-4)=-1<0 quad f(0)=3>0
A la izquierda de –3 tenemos un intervalo negativo y a la derecha un intervalo positivo
2 Representa gráficamente y=x^2+x+1
Solución
Para realizar la gráfica de la parábola necesitamos el vértice y las intersecciones con los ejes coordenados.
1 Vértice de y=x^2+x+1.
Recordemos que la formula para calcular la coordenada de las abscisas del vértice de una función de la forma y=ax^2+bx+c es x_v=-frac{b}{2a}.
Así tenemos que x_v = −1/ 2 por lo cual y_v = (−1/ 2)^2 + (−1/ 2) + 1 = 3/4.
Por tanto el vértice es: V(−1/ 2, 3/ 4).
2 Puntos de corte con el eje OX de y=x^2+x+1
Necesitamos determinar si existen valores de x tales que y tal que x^2+x+1=0. Notemos que como el determinante de la ecuación es cero no existen souciones reales (pues det=1^2-4<0), por tanto no hay puntos de corte con OX.
3 Punto de corte con el eje OY
En este caso notemos que si x=0 entonces y=1. Por lo cual el punto de corte es (0,1).
Finalmente, utilizando la información anterior graficamos:
Grafica de la parábola f(x)=x^2+x+1
3 Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.
Solución
Una parábola tiene su vértice en el punto V(1, 1) y pasa por el punto (0, 2). Halla su ecuación.
Una función de la forma y=ax^2+bx+c, tiene vértice V=(x_v,y_v). Para calcular la coordenada x_v se usa lo siguiente:
x_v=-frac{b}{2a}.
Como la coordenada x_v=1 sustituimos y obtenemos la siguiente relación:
1=-frac{b}{2a}Rightarrow b=-2a
Sustituimos en la función y=ax^2+bx+c en los puntos que conocemos:
f(0)=2Rightarrow 2=0+0+cRightarrow c=2
f(1)=1Rightarrow 1=a+b+2Rightarrow 1=a-2a+2Rightarrow a=1Rightarrow b=-2.
Finalmente escribimos la función sustituyendo en y=ax^2+bx+c los valores obtenidos: y=x^2-2x+2.
4 Encuentra la expresión analítica de la función.
Gráfica de una función definida por partes
Solución
Encuentra la expresión analítica de la función
f(x)=left{begin{array}{ccc} -x & text { si } & x<0 \ 1 & text { si } & x=0 \ x & text { si } & 0<x<2 \ 1 & text { si } & x geq 3 end{array}right.
5 Representa la función gráficamente las siguientes funciones:
Af(x) = |−x^2 + 5x -4|
Bf(x) = frac{|x|}{x}
A Representa la función f(x) = |−x^2 + 5x -4|
Primero, se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces:
−x^2 + 5x -4=0Leftrightarrow x^2 - 5x +4=0 Leftrightarrow (x-1)(x-4)=0
Entonces x=1 o x=4.
Definimos la función por partes, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función:
t{begin{array}{llc} x^{2}-5 x+4 & text { si } & x<1 \ -left(x^{2}-5 x+4right) & text { si } & 1 leq x<4 \ x^{2}-5 x+4 & text { si } & x geq 4 end{array}right.
Finalmente, representamos la función:
Gráfica de una función cuadrática con valor absoluto
B Representa la función f(x) = frac{|x|}{x}
Finalmente, graficamos:
Gráfica de una función por partes (con valor absoluto)
6 Representa la función f(x) = E(x/2)
Solución
Representa la función f(x) = E(x/2)
Para resolver, primero tabulamos algunos valores y luego graficamos:
Gráfica de una función escalonada.
7 Representa la función exponencial f(x)=(frac{3}{2})^x
Para resolver primero tabulamos algunos valores y luego graficamos
Gráfica de una función exponencial
