Question

AYUDA!

Halla la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,3), B(4,-9) y cuyo centro localiza sobre eje "y"​

Answer 1

Respuesta:

$x^2+(y+\frac{11}{3} )^2=\frac{400}{9}$

Explicación paso a paso:

Hola! El centro de la circunferencia se encuentra sobre el eje y (es decir, que x=0). Podemos anotarlo de la siguiente manera:

C(0,y)

Donde "y" es el valor de la coordenada en "y" del centro, que aun no se conoce.

Los puntos A(0,3) y B(4,-9) pertenecen a la circunferencia. Recordemos ahora, que el radio de una circunferencia es la distancia del centro a cualquier punto de esta. Eso quiere decir que la distancia del centro C al punto A es la misma que al punto B. Podemos formular estas distancias con la fórmula de distancia entre puntos:

Distancia C,A:

$d=\sqrt{(0-0)^2+(y-3)^2}=\sqrt{(y-3)^2}$

Distancia C,B:

$d=\sqrt{(0-4)^2+(y-(-9))^2}=\sqrt{16+(y+9)^2}$

Como expliqué antes, ambas distancias corresponden con el radio de la circunferencia. Eso quiere decir que ambas deben ser iguales. Asi que igualamos ambas expresiones y simplificamos:

$\sqrt{(y-3)^2}=\sqrt{16+(y+9)^2}\\\\(y-3)^2=16+(y+9)^2\\\\y^2-6y+9=16+y^2+18y+81\\\\-6y-18y=16+81-9\\\\-24y=88\\\\y=\frac{88}{-24} \\\\y=-\frac{11}{3}$

Este valor de y corresponde con la coordenada en "y" del centro de la circunferencia. Es decir, el centro tiene coordenadas C(0,-11/3). Si sustituimos ese valor en alguna de las distancias antes mencionadas, encontraremos el radio.

Distancia C,A:

$d=\sqrt{(0-0)^2+(-\frac{11}{3} -3)^2}=\sqrt{(-\frac{20}{3} )^2}=\frac{20}{3}$

El radio vale r=20/3. Por último, la ecuación canónica de una circunferencia con centro en las coordenadas C(h,k) y radio r, tiene la siguiente forma:

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

Sustituyendo obtenemos:

$(x-0)^2+(y-(-\frac{11}{3} ))^3=(\frac{20}{3} )^2\\\\x^2+(y+\frac{11}{3} )^2=\frac{400}{9}$

Esta última es la ecuación de la circunferencia. Espero haberte explicado Saludos!!