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funciones, calculo
Respuestas a la pregunta
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Cuando el tiempo tiende a infinito la población es de 20 y la máxima se alcanza cuando es t=2,2 y es aproximadamente 23,5 millones de habitantes.
Explicación paso a paso:
La función tiene dos variables, P y t. 't' es la denominada variable independiente o variable de entrada. Para este caso particular representaría el tiempo. P es la variable dependiente o variable de salida. En este caso particular representa la población.
Si queremos dibujar la función vamos a ver si tiene asíntotas verticales, las que se asocian con puntos donde la función no está definida. La función no está definida en los puntos donde se anula el denominador:
Vemos claramente que no existen valores de t para los que la función es indefinida, por lo que no hay asíntotas verticales.
Si los límites en el infinito existen, la función tiene asíntotas horizontales:
Tiene una asíntota horizontal en P=0, por ende no hay asíntotas oblícuas.
Hallamos la ordenada al origen y las raíces:
No hay raíces, la ordenada al origen es:
Las raíces de la derivada nos dan los máximos y mínimos:
Con esto se puede trazar un gráfico aproximado de la función, y en efecto, el gráfico está en la imagen adjunta.
Mirando el gráfico podemos hallar la población máxima que es para t=2,2, siendo aproximadamente 23. La condición de máximo es f'(xm)=0; f''(xm)<0. Hallamos la derivada segunda:
Donde vemos que claramente la derivada segunda es negativa para t=2,2. Si reemplazamos este valor en la función P(t) y operamos hallaremos el valor exacto de la máxima población.
El límite cuando t tiende a infinito fue calculado en un punto anterior y es igual a 20. Este valor significa el valor aproximado que tomará la población al cabo de mucho tiempo.
