Question

Ayuda!!
Factorizar: x^3+7ax^2+2a^2x-40a^3
usando la regla de Ruffini
Es importante, por favor y gracias. ​

Answer 1

Respuesta:

(x - 2a)(x + 4a)(x + 5a)

Forma número 1:

Puedes comenzar por Ruffini y una vez que tengas un polinomio de segundo grado resolverlo por la fórmula general. Así es como lo hice yo:

$\begin{array}{r|rrrr}&1&7a&2a^2&-40a^3\\2a&&2a&18a^2&40a^3\\\cline{1-5}&1&9a&20a^2&0\end{array}$

Sabes entonces que el polinomio tiene la siguiente forma:

(x - 2a)(x² + 9ax + 20a²)

Entonces factorizas el polinomio de segundo grado obteniendo las raíces por la fórmula general:

x² + 9ax + 20a² = 0

$\implies x=\frac{-9a\pm \sqrt{(9a)^2-4\cdot 1\cdot 20a^2} }{2}$

Lo que da lugar a dos raíces:

x = -4a

x = -5a

Por tanto la factorización es:

(x - 2a)(x + 4a)(x + 5a)

Forma número 2:

Sigues operando por Ruffini también para factorizar el polinomio de segundo grado. Recuerda que los tanteos que debes hacer tienen que ser divisores (positivos o negativos) del coeficiente de grado cero. Aun así son muchos para probar; por eso creo que es preferible el método anterior, pero como ya conocemos cuáles son las raíces voy directamente a la resolución:

$\begin{array}{r|rrrr}&1&7a&2a^2&-40a^3\\2a&&2a&18a^2&40a^3\\\cline{1-5}&1&9a&20a^2&0\\-4a&&-4a&-20a^2\\\cline{1-4}&1&5a&0\end{array}$

Abajo resulta ya directamente un polinomio de grado 1:

x + 5a

Con lo que ya tenemos la factorización completa:

(x - 2a)(x + 4a)(x + 5a)

Forma número 3:

Es la misma que la anterior pero prosiguiendo mecánicamente con Ruffini hasta el final:

$\begin{array}{r|rrrr}&1&7a&2a^2&-40a^3\\2a&&2a&18a^2&40a^3\\\cline{1-5}&1&9a&20a^2&0\\-4a&&-4a&-20a^2\\\cline{1-4}&1&5a&0\\-5a&&-5a\\\cline{1-3}&1&0\end{array}$

Por tanto la factorización es:

(x - 2a)(x + 4a)(x + 5a)

Yo lo haría por la forma número 1 salvo que se espere que lo hagas todo por Ruffini, en cuyo caso también lo haría ocultamente por la forma 1 para obtener las raíces y proseguirá después por Ruffini conociéndolas, como he hecho en las formas 2 y 3.