Question

Ayuda es tarea para mañana,solo de la b y la c pero todo con procedimiento por favor

Answer 1

La tasa de variación instantánea de 1/x en x = 2 es -1/4 y la tasa de variación instantánea de x^2 -1 en x= 0 es 0

Para poder llegar a esta conclusión, simplemente debemos evaluar la derivada de cada función en los puntos requeridos. Por lo tanto, simplemente debemos hallar la derivada de cada una de las funciones.

Primer Ejercicio

La derivada de esta función se define así

$f'(x)=  \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} }{h}$

Si aplicamos suma cruzada, obtenemos lo siguiente

$f'(x)=  \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h(x+h)(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{x - x-h}{h(x+h)(x)} = \lim_{h \to 0} \frac{- h}{h(x+h)(x)}\\\\\\f'(x) = \lim_{h \to 0} -\frac{1}{(x+h)(x)} =  -\frac{1}{x^2}$

Por lo tanto, si hacemos x= 2, obtenemos que la tasa de variación instantánea es f'(2)=-1/2² = -1/4

Segunda función

Ahora, para calcular la tasa de variación de x² -1 simplemente procedemos con lo siguiente

$f'(x)=  \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -1 -x^2 + 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 -x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h+x)}{h}\\ \\\\f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{(2x+h)h}{h}= \lim_{h \to 0}2x +h = 2x$

Y si hacemos x =0, notamos que su tasa de variación instantánea es 2*0 = 0