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Answer 1

                                                  Semejanza de

                                                         triángulos

En este caso utilizaremos el caso AA (ángulo- ángulo) esto quiere decir que tenemos dos ángulos iguales.

Utilizaremos la proporcionalidad para hallar lados de un paralelogramo, debemos recordar que un paralelogramo es aquella figura que tiene todos sus lados paralelos

El ángulo semiinscrito es aquel que subtiende a la mitad del ángulo  del arco que contiene a dicho ángulo.

En la imagen 1

• Se traza QM paralelo a BD de manera que se pueda intersectar en un punto del segmento CD
• Se traza  PM paralela a BC de manera que se pueda intersectar en un punto del segmento CD
• Completando los ángulos como se muestra en la imagen nos daremos cuenta que QM y PM se intersectan justamente en el punto M que pertenece a CD
• Usamos la proporcionalidad en el triangulo PRD
• Usamos nuevamente la proporcionalidad en el triángulo ARD

                                             $\mathrm{\cfrac{\overline{RP}}{\overline{PA}} =\cfrac{\overline{RM}}{\overline{MD}} }$

                                           $\mathrm{\cfrac{x+2}{5} =\cfrac{xk}{2k} }$

                                       $\mathrm{2(x+2)=5x}$

                                          $\mathrm{2x+4=5x}$

                                                 $\mathrm{4=3x}$

                                                 $\mathrm{x=\cfrac{4}{3} }$

En la imagen 2

• Se trazan las cevianas AC y DN además de completar los ángulos
• Al completar los ángulos y con propiedades de la circunferencia llegaremos a demostrar que ADB es un triángulo equilátero (veamos)

• Sabemos que el triángulo ABD es isósceles además que la perpendicular del vértice B hacia AD biseca al segmento AD además que la perpendicular pasa por el centro.

• Por propiedades de la circunferencia el arco menor AD mide 180°- 2Θ y llamamos al ángulo ADL "α" entonces por ser isósceles el triángulo ABD entonces DAL es también "α" pero sabemos que ADB es un ángulo semiinscrito entonces ∡ABD es 90-Θ pero sabemos que "α" es 45°-(Θ/2)  por lo que directamente nos damos cuenta que "α" es 90-Θ, con esto queda demostrado que las cevianas trazadas inicialmente (AC y DN) son bisectrices
• Nos ayudaremos que el ángulo ALO es 90-α pero como el triángulo AOL es isósceles entonces

                                      $\mathrm{90-\alpha=\alpha+\theta}$

                                       $\mathrm{90-\theta=2\alpha}$  

• Con lo anterior hemos demostrado que

                                      $\mathrm{90-\theta=90-\alpha}$

                                             $\mathrm{\theta=\alpha}$

• Con todo lo anterior queda demostrado que ADB es equilátero

• Recordando el triángulo notable 30° y 60°

                               $\mathrm{\overline{AC} =k\sqrt{3} =9}$

                                            $\mathrm{k =\cfrac{9}{\sqrt{3}} *\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} }$

                                            $\mathrm{k =3\sqrt{3}}}$

• Como "x" es AB entonces

                                        $\mathrm{\overline{AB} =2k}$  

                                        $\mathrm{\overline{AB} =2*3\sqrt{3} }$

                                        $\mathrm{\overline{AB} =6\sqrt{3} }$

En la imagen 3

• Se traza M'M y se completa la circunferencia

• Completamos los ángulos correspondientes a las propiedades de la circunferencia

• Automáticamente podemos observar que el triángulo PTM es semejante con el triángulo MTM' por el criterio AA ya que los ángulo son "α" y " 90 - α + Θ "

• Establecemos la semejanza de la siguiente manera

                                              $\mathrm{\cfrac{\overline{M'T}}{\overline{MT}}=\cfrac{\overline{MT}}{\overline{TP}} }$

                                                   $\mathrm{\cfrac{ 4}{x}=\cfrac{x}{8} }$

                                                  $\mathrm{x^2=32}$

                                                 $\mathrm{x=4\sqrt{2} }$

Un cordial saludo.