Question

ayuda es para hoy
Una roca de masa 3kg cae desde el reposo en un medio viscoso. Sobre ella actúan una fuerza neta constante hacia abajo de 20N y una fuerza de resistencia al fluido f=kv donde v es la rapidez en m/s y k=2N×m/s. a)Calcule la aceleración inicial. b)Calcule la aceleración cuando v=3m/s c)Calcule v cuando a=0,1 d)Calcule la velocidad terminal e)Obtenga las coordenadas, rapidez y aceleración 2s después de iniciado el movimiento f)Calcule el tiempo necesario para que v=0,9​

Answer 1

Bien, recordemos que sólo tenemos dos fuerzas: la fuerza neta gravedad/empuje, FN, y la fuerza de la resistencia del fluido (fuerza viscosa), R.

La ecuación de Newton es dificilísima:

FN − R = m . a

El problema es que hay varias cosas que no se pueden calcular directamente: la resistencia del medio, R, depende de la velocidad, y no sabemos cuánto vale la velocidad a los 2 segundos... Y la aceleración depende de esa fuerza que todavía no sabemos cuánto vale. De modo que necesitamos las ecuaciones de movimiento, o sea: posición en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en función del tiempo. Si logramos eso luego bastará con reemplazar el tiempo por 2 s y listo.

m . a(t) = FN − R(v)

despejemos la aceleración:

a(t) = (FN / m ) − ( R(v) / m )

Acordate que R(v) = k . v. Reordenemos llevando al primer miembro las variables:

a(t) + (k/m) v(t) = FN/m

Podemos escribir la aceleración como la derivada de la velocidad. Nos queda una ecuación de tipo:

v'(t) − B v(t) = D

En la que B y D son constantes. A esto se llama ecuación diferencial (al menos una de las variables es derivada de la otra). Y tiene una solución típica que podés encontrar en varios lados o pedirla en un programa de cálculo diferencial. La solución es ésta:

v(t) = A eBt + C

En la que A, B y C, son constantes que podés calcular haciendo t=0. Puedes ver la primera parte de este ejercicio y recordar que en el instante t=0 tenemos:

a(0s) = 6,67 m/s²

v(0s) = 0

y supongamos también que (elección del SR)

x(0s) = 0

de lo que surge que B es la constante que ya definí antes y A es igual a -C como expreso a continuación:

A = − FN / k = − 10 m/s

B = − k / m = − 0,667 s-1

C = FN / k = 10 m/s

La función velocidad la derivamos para obtener la de aceleración y la integramos para obtener la de posición:

x(t) = A.B-1 eBt + A t − A.B-1

v(t) = A eBt + C

a(t) = A B eBt

Reemplazando las constantes:

x(t) = − 10 m/s . 1,5 s . e (-0,667/s) t + 10 m/s t − 15 m

v(t) = − 10 m/s . e (-0,667/s) t + 10 m/s

a(t) = 10 m/s . 0,667 s-1 . e (-0,67/s) t

Y ahí tenemos las tres ecuaciones horarias, posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Ahora las especializamos para el instante 2 s...

x(2s) = − 10 m/s . 1,5 s . e (-0,667/s) 2s + 10 m/s 2 s − 15 m

v(2s) = − 10 m/s . e (-0,667/s) 2s + 10 m/s

a(2s) = 10 m/s . 0,667 s-1 . e (-0,667/s) 2s

Y obtenemos:

x(2s) = 8,95 m

v(2s) = 7,36 m/s

a(2s) = 1,76 m/s²