AYUDA! Encuentre la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A= (3, 5) y cuyo centro es la proyección ortogonal de A sobre la recta L: 3x+2y+4=0.
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La proyeccion ortogonal de un punto dado referente a una recta, es la recta perpendicular a la recta que pasa por el punto dado.
En este caso la recta es:
L1: 3X + 2Y + 4 = 0
La debemos pasar a la manera Y = mX + b
2Y = -3X - 4
Y = (-3/2)X - 4/2
Y = (-3/2)X - 2
Donde m es la pendiente de la recta en nuestro caso:
m = -3/2
Ahora debemos hallar la recta que es perpendicular a la L1 que pasa por A
Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de las pendientes debe ser -1.
m1 = -3/2
m2 = ?
(m1)(m2) = -1
(-3/2)(m2) = -1
m2 = -1/(-3/2)
m2 = 2/3
Ahora tenemos una pendiente y un punto donde debe pasar esa recta
m = 2/3; Punto A: (3,5)
Usamos
Y - Y1 = m(X - X1)
Para nuestro caso:
X1 = 3; Y1 = 5; m = 2/3
Y - 5 = (2/3)(X - 3)
Y - 5 = 2X/3 - (2/3)(3)
Y - 5 = 2X/3 - 2
Y = 2X/3 - 2 + 5
L2: Y = 2X/3 + 3
En el punto donde se intersectan L1 y L2 ese sera el centro de nuestra circunferencia.
L1: Y = (-3/2)X - 2
L2: Y = 2X/3 + 3
En los puntos donde se intersecta tendran los mismo valores tanto para X como para Y asi que podemos usar igualacion para hallar los valores.
Y = (-3/2)X - 2
Y = (2/3)X + 3
(-3/2)X - 2 = (2/3)X + 3
-2 - 3 = 3X/2 + 2X/3
-5 = 3X/2 + 2X/3
Hacemos:
3/2 + 2/3 = [3(3) + 2(2)]/6 = [9 + 4]/6 = 13/6
-5 = 13X/6
Despenando
(-5)(6) = 13X
X = -30/13
Ahora reemplazo:
Y = 2X/3 + 3
Y = (2/3)(-30/13) + 3
Y = -20/13 + 3
Y = -20/13 + 39/13
Y = 19/13
El punto donde se intersectan es: [(-30/13) , (19/13)]
Listo ahora el radio de nuestra circunferencia es la distancia comprendida entre centro (Punto donde se intersectan las rectas) y el punto A (3,5)
Centro: [(-30/13) , (19/13)]
A: (3 , 5)
Donde:
X1 = (-30/13); Y1 = 19/13; X2 = 3; Y2 = 5
Usando la formula para hallar distancia:
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
(X2 - X1)²
3 - (-30/13) = 3 + 30/13 = 39/13 + 30/13 = 69/13
(69/13)² = 4761/169
(X2 - X1)² = 4761/169
(Y2 - Y1) = 5 - 19/13
65/13 - 19/13 = 46/13
(Y2 - Y1)² = (46/13)² = 2116/169
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
d = √[(4761/169) + (2116/169)]
d = √(6877/169)
d = √(529/13)
d ≈ 6.37905
El radio es aproximadamente de 6.37905
Ahora usamos la ecuacion canonica de la circunferencia:
(X - h)² + (Y - k)² = r²
Donde: (h , k) es el centro de la circunferencia en nuestro caso
[(-30/13) , (19/13)]
r² = Radio al cuadrado en nuestro caso
r = √(529/13)
r² = 529/13
(X - h)² + (Y - k)² = r²
(X - (-30/13))² + (Y - (19/13))² = 529/13
(X + 30/13)² = X² + 2(X)(30/13) + 900/169
X² + 60X/13 + 900/169
(Y - (19/13))² = Y² - 2(Y)(19/13) + 361/169
Y² - 38Y/13 + 361/169
(X² + 60X/13 + 900/169) + (Y² - 38Y/13 + 361/169) = 529/13
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 = 529/13
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 - 529/13 = 0
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 - 432/13 = 0 : Ecuacion general de la circunferencia.
Te anexo grafica de la situacion.
En este caso la recta es:
L1: 3X + 2Y + 4 = 0
La debemos pasar a la manera Y = mX + b
2Y = -3X - 4
Y = (-3/2)X - 4/2
Y = (-3/2)X - 2
Donde m es la pendiente de la recta en nuestro caso:
m = -3/2
Ahora debemos hallar la recta que es perpendicular a la L1 que pasa por A
Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares el producto de las pendientes debe ser -1.
m1 = -3/2
m2 = ?
(m1)(m2) = -1
(-3/2)(m2) = -1
m2 = -1/(-3/2)
m2 = 2/3
Ahora tenemos una pendiente y un punto donde debe pasar esa recta
m = 2/3; Punto A: (3,5)
Usamos
Y - Y1 = m(X - X1)
Para nuestro caso:
X1 = 3; Y1 = 5; m = 2/3
Y - 5 = (2/3)(X - 3)
Y - 5 = 2X/3 - (2/3)(3)
Y - 5 = 2X/3 - 2
Y = 2X/3 - 2 + 5
L2: Y = 2X/3 + 3
En el punto donde se intersectan L1 y L2 ese sera el centro de nuestra circunferencia.
L1: Y = (-3/2)X - 2
L2: Y = 2X/3 + 3
En los puntos donde se intersecta tendran los mismo valores tanto para X como para Y asi que podemos usar igualacion para hallar los valores.
Y = (-3/2)X - 2
Y = (2/3)X + 3
(-3/2)X - 2 = (2/3)X + 3
-2 - 3 = 3X/2 + 2X/3
-5 = 3X/2 + 2X/3
Hacemos:
3/2 + 2/3 = [3(3) + 2(2)]/6 = [9 + 4]/6 = 13/6
-5 = 13X/6
Despenando
(-5)(6) = 13X
X = -30/13
Ahora reemplazo:
Y = 2X/3 + 3
Y = (2/3)(-30/13) + 3
Y = -20/13 + 3
Y = -20/13 + 39/13
Y = 19/13
El punto donde se intersectan es: [(-30/13) , (19/13)]
Listo ahora el radio de nuestra circunferencia es la distancia comprendida entre centro (Punto donde se intersectan las rectas) y el punto A (3,5)
Centro: [(-30/13) , (19/13)]
A: (3 , 5)
Donde:
X1 = (-30/13); Y1 = 19/13; X2 = 3; Y2 = 5
Usando la formula para hallar distancia:
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
(X2 - X1)²
3 - (-30/13) = 3 + 30/13 = 39/13 + 30/13 = 69/13
(69/13)² = 4761/169
(X2 - X1)² = 4761/169
(Y2 - Y1) = 5 - 19/13
65/13 - 19/13 = 46/13
(Y2 - Y1)² = (46/13)² = 2116/169
d = √[(X2 - X1)² + (Y2 - Y1)²]
d = √[(4761/169) + (2116/169)]
d = √(6877/169)
d = √(529/13)
d ≈ 6.37905
El radio es aproximadamente de 6.37905
Ahora usamos la ecuacion canonica de la circunferencia:
(X - h)² + (Y - k)² = r²
Donde: (h , k) es el centro de la circunferencia en nuestro caso
[(-30/13) , (19/13)]
r² = Radio al cuadrado en nuestro caso
r = √(529/13)
r² = 529/13
(X - h)² + (Y - k)² = r²
(X - (-30/13))² + (Y - (19/13))² = 529/13
(X + 30/13)² = X² + 2(X)(30/13) + 900/169
X² + 60X/13 + 900/169
(Y - (19/13))² = Y² - 2(Y)(19/13) + 361/169
Y² - 38Y/13 + 361/169
(X² + 60X/13 + 900/169) + (Y² - 38Y/13 + 361/169) = 529/13
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 = 529/13
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 + 1261/169 - 529/13 = 0
X² + Y² + 60X/13 - 38Y/13 - 432/13 = 0 : Ecuacion general de la circunferencia.
Te anexo grafica de la situacion.
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