Question

Ayuda en este pregunta, según es una progresión, geometria o aritmetica. He intentado y no me da. Sólo he podido en un proceso aritmetico y si medio hallo la respuesta pero necesito que sea exacto.
En una ciudad hay 65000 habitantes, se sabe que en años anteriores la tasa de crecimiento anual fue de 7%. ¿Cuánto tiempo la ciudad tendrá 80,000 habitantes?

Quién me ayuda y les doy 20 puntos.

Answer 1

Sería una progresión geométrica (PG) ya que cada año se calculan los habitantes a partir de multiplicar por 1,07 y este número sería la razón "r" de la PG.

¿Por qué 1,07?  Porque para calcular la tasa anual de cada año que pasa hay que calcular el 107% sobre los habitantes del año anterior, es decir esta operación:  $\frac{num.\ habitantes*107}{100} =num.\ hab.*1,07$

Por lo tanto tenemos los siguientes datos de la PG.
Razón de la PG ... r = 1,07
Primer término de la PG ... a₁ = 65000
Último término de la PG ... $a_n=80000$

Y nos pide saber el tiempo que pasa, es decir, el número de años y cada año representa un término de la progresión, por tanto el número de años que nos pide es "n".

Acudiendo a la fórmula del término general de las PG...
$a_n=a_1* r^{n-1} ...\ sustituyendo... \\ \\ 80000=65000* 1,07^{n-1} \\ \\ 80000=65000* \frac{1,07^n}{1,07^1} \\ \\ 80000*1,07=65000*1,07^n \\ \\ 1,07^n= \frac{85600}{65000} \\ \\ 1,07^n=1,31692307$

Es un decimal periódico mixto ya que a partir de "692307" se repite ese grupo de cifras.

Bien... aquí habría que recurrir a logaritmos pero ese tema me temo que lo olvidé hace muchos años así que me toca hacerlo por conteo y calcular a qué numero debo elevar 1,07 para acercarme a esa cantidad.

Haciéndolo de ese modo, al elevar  1,07⁴ = 1,31079601 que es lo más aproximado a que puedo llegar así porque si lo elevo a la 5ª ya me paso.

Es obvio que no da exacto porque el número al que debo llegar queda algo lejos si consideramos que en el tercer decimal a mí me sale un cero y debo llegar al 6.  Por eso es necesario usar logaritmos para acercarse más a la solución exacta. 

Yo solo podría afirmar que han de pasar más de 4 años (el exponente "n") para llegar a esos 80000 habitantes. Pero no es la solución. Si conoces el tema de logaritmos podrás llegar a ella.

Te dará 4 como número entero y luego decimales. Los decimales de año se pasan a meses multiplicando por 12 meses que tiene un año.

Si siguen quedándote decimales en esa operación, los decimales de meses se pasan a días multiplicando por 30 días que tiene un mes. Y ya no creo que tenga demasiada utilidad continuar hasta calcular las horas, minutos y segundos.

Ejemplo: si te saliera 4,45 años, se hace esto: 
0,45×12 = 5,4 meses
0,4×30 = 12 días

El tiempo sería en ese caso: 4 años, 5 meses, 12 días.

Saludos.