Question

Ayuda determine los valores de m tal que la ecuación cuadrática no tenga solución en r. x^2+2(m-1)x+m^2=0

Answer 1

El único parámetro de determina el tipo de solución que queremos es el discriminante...para éste caso...queremos que las soluciones sean imaginarias eso significa que lo que está dentro de la raíz tendrá que ser estrictamente menor que cero....es decir negativo...veamos

$x^{2} +2(m-1)x+ m^{2} =0 \\ Donde: \\ a=1 \\ b=2(m-1) \\ c= m^{2} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2-4ac} } }{2a}$

Pero de ésta ecuación solo nos interesa el discriminante es decir la raíz...y como como queremos que las soluciones sea imaginarias...entonces lo que está dentro de la raíz tiene que ser menor que cero en otro palabras:

$b^{2} -4ac\ \textless \ 0 \\ (2(m-1)) ^{2} -4(1)( m^{2} )\ \textless \ 0 \\ 4( m^{2}-2m+1 )-4 m^{2} \ \textless \ 0 \\ 4 m^{2} -8m+4-4 m^{2} \ \textless \ 0 \\ -8m+4\ \textless \ 0 \\ -8m\ \textless \ -4 \\ m\ \textgreater \ \frac{1}{2}$

Comprobemos, la respuesta nos dice que "m" tiene que ser mayor a 1/2, probemos cuando m=1/2 solo para ver...

$a=1 \\ b=2(m-1)=2( \frac{1}{2}-1 )=-1 \\ c= (\frac{1}{2} ) ^{2} = \frac{1}{4}$

$X_{1,2}= \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-(-1)(+-) \sqrt{ (-1)^{2}-4(1)( \frac{1}{4} ) } }{2(1)} \\ \\ X_{1,2} = \frac{1(+-) \sqrt{1-(1) } }{2(1)} = \frac{1(+-)0}{2(1)} \\ \\ X_{1} = \frac{1}{2} \\ X_{2} = \frac{1}{2}$

Mira...nos salió una única solución...probemos cuando m=0

$a=1 \\ b=2(m-1)=2(0-1)=2 \\ c= m^{2} =0 \\ \\ X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-(2)(+-) \sqrt{ (2)^{2}-4(1)(0) } }{2(1)} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-2(+-) \sqrt{ 4 } }{2} \\ \\ X_{1} = \frac{-2+2}{2} =0 \\ X_{2}= \frac{-2-2}{2} =-2$

Cuando m es menor que 1/2....da dos soluciones diferentes....si pruebas algún valor superior a 1/2..pues te deberá salir un imaginario...veamos..m=1

$a=1 \\ b=2(m-1)=2(1-1)=0 \\ c= m^{2} =1$


$X_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ X_{1,2} = \frac{-(0)(+-) \sqrt{ (0)^{2}-4(1)(1) } }{2(1)} \\ \\ X_{1,2} = \frac{(+-) \sqrt{-4 } }{2} \\ \\ X_{1} = \frac{- \sqrt{-4} }{2} =- \frac{ \sqrt{4} \sqrt{-1} }{2} =- \frac{2i}{2} =-i \\ \\ X_{2} = \frac{+ \sqrt{-4} }{2} = \frac{ \sqrt{4} \sqrt{-1} }{2} = \frac{2i}{2} =i$

Y como te das cuenta nos salieron dos soluciones imaginarias....

Espero te sirva y si tienes alguna pregunta me avisas