Question

Ayuda, cuál es la fórmula de los cuadrados de los números impares consecutivos ?
Por decir: 1 al cuadrado + 3 al cuadrado+ 5 al cuadrado...+(2n-1) al cuadrado ?

Answer 1

Supongo que te refieres a la fórmula que vale para construir la progresión de esos números. 

Tengo varias tareas del mismo estilo resueltas aquí en Brainly, así que para adelantar trabajo copiaré parte del texto de una de ellas. Son tareas mías y no son copia de otro usuario.

Los siguientes números se obtienen fijándose en la forma en que aumenta cada término respecto del anterior. 

Términos
de la progresión:       1º              2º             3º            4º
Progresión inicial:      1               9             25           49 ... etc
Diferencia 1:                    +8            +16           +24     ⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                            +8            +8                ⇒ (segundo orden)

Verás que la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando de ocho en ocho de manera que aquí tenemos una sucesión dentro de otra sucesión. Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Los términos que continúan esa sucesión serían:
5º término:  7² = 49
6º término:  9² = 81  (es como sumar 32 unidades a 49)
7º término:  11² = 121  (es como sumar 40 unidades 81) 
etc...

Ahí se puede observar que las diferencias entre ellos siguen siendo crecientes. Eso sería en la "diferencia 1"

En el segundo orden "diferencia 2" es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 8 unidades entre dos términos consecutivos,  
8+8 = 16 ... 16+8 = 24 ... 24+8 = 32 ... etc...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella y eso es lo que pides en tu tarea. Veamos...

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general  (o enésimo) debe tener esta forma:  $a_n=an^2+bn+c$

... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 1 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+8 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+8 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:
$a_n= \frac{A}{2} *n^2+(B- \frac{3}{2} *A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas. Alguien muy inteligente debió deducirla pero no soy yo.

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n= \frac{8}{2} *n^2+(8- \frac{3}{2} *8)*n+(8-8+1) \\ \\ a_n=4n^2-4n+1$

Ahí te queda la fórmula pedida en la tarea.

$a_n=4n^2-4n+1$

Si sustituyes "n" por la sucesión de números naturales, deben ir apareciendo los términos de la progresión y voy a comprobarlo:

Para n=1 -----> a₁ = 4×1² - 4×1 +1 = 4 -4 +1 = 1
Para n=2 -----> a₂ = 4×2² -4×2 +1 = 16 -8 +1 = 9
Para n=3 -----> a₃ = 4×3² -4×3 +1 = 36 -12 +1 = 25

Y así van saliendo todos los cuadrados de los números impares.

Saludos.