Question

Ayuda con teoría de conjuntos

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Demostración:

Esta prueba es un poco matemática.

Por un lado, se supone que $A\subset B$. Se va probar que $A\cap B^c =\emptyset$.

Como $A \subset B$, se tiene que $A\cap B=A$. Así,

$A\cap B^c= (A\cap B) \cap B^c= A\cap (B\cap B^c)=A\cap \emptyset =\emptyset$.

Ahora, por otro lado, dado $A\cap B^c =\emptyset$, se va a probar que $A\subset B$.  Para esto usamos el método de reducción al absurdo, suponga que A no esta contenido en B. Así, existe

$x\in A \,\, y \,\,\, x\notin B \Rightarrow x\in A\cap B^c$

Es decir existe un $x\in A\cap B^c$. Lo que contradice el hecho que $A\cap B^c =\emptyset$.

Por lo tanto, $A\cap B^c =\emptyset \Rightarrow A\subset B$.