Question

Ayuda con tarea de geometróa
En un cuadrado de lado 3 se cortan triángulos rectángulos isósceles en cada una de sus cuatro esquinas, de tal manera que se forma un octágono regular al interior del cuadrado. Demostrar que el área de este octágono se puede expresar como 18√2-18
En un triángulo ABC, la medida del ángulo formado por las bisectrices exteriores de los ángulos C y C es igual al doble de la medida del ángulo A.
Hallar la medida del ángulo A.
Analiza la siguiente figura y encuentra el valor del ángulo x, si m∢B=70° y (CE) ̅=(CD) ̅

Answer 1

Explicación paso a paso (solo del primer ejercicio):

"En un cuadrado de lado 3 se cortan triángulos rectángulos isósceles en cada una de sus cuatro esquinas, de tal manera que se forma un octágono regular al interior del cuadrado. Demostrar que el área de este octágono se puede expresar como 18√2-18".

De acuerdo al gráfico, las esquinas amarillas son triángulos rectángulos isósceles.  Llamamos <c> a los catetos, y <h> a la hipotenusa.

Observamos que la hipotenusa coincide con el lado del octógono regular.  Como el lado mide 3, tenemos que el lado del octógono es  h = 3-2c

Por otro lado, aplicando el teorema de Pitágoras, resulta que:

$h^{2} = c^{2}+c^{2} \\h = \sqrt{2c^{2}}\\h=c\sqrt{2}$

Igualando ambos resultados de h, despejamos el valor de <c>:

$3-2c=c\sqrt{2} \\3=c\sqrt{2}+2c\\3=c(\sqrt{2}+2)\\c=\frac{3}{\sqrt{2}+2}$

Sustituimos el valor de <c> para averiguar el valor de <h>:

$h=\sqrt{2} \frac{3}{\sqrt{2}+2} =\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2}=\frac{3\sqrt{2}(\sqrt{2}-2) }{(\sqrt{2}+2)\left(\sqrt{2}-2\right)}=\frac{3\cdot 2-6\sqrt{2}}{2-2^{2} } =\frac{6-6\sqrt{2} }{-2}= \frac{2(3-3\sqrt{2})}{-2}= -(3-3\sqrt{2}) =3\sqrt{2}-3$

Sabemos que el área de cualquier polígono regular es:

Área pol.reg. = perímetro * apotema / 2 = 8*h*1,5/ 2 = 6h

$A = 6h = 6(3\sqrt{2}-3) = 18\sqrt{2} -18$