Question

Ayuda con la siguiente integral ∫(e^2x-1)dx/(e^2x+3)

el resultado es : ln(e^2x+3)^2/3-1/3x+C

Answer 1

$\displaystyle I=\int\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+3}~dx\\ \\ \\ I=\int 1-\frac{4}{e^{2x}+3}~dx\\ \\ \\ I=x-4\int \frac{1}{e^{2x}+3}~dx\\ \\ \\ I=x-4\int \frac{ e^{-2x} }{1+3e^{-2x}}~dx\\ \\ \\ I=x+2\int \frac{ de^{-2x} }{1+3e^{-2x}}$

$I=x+\dfrac{2}{3}\ln|1+3e^{-2x}|+C\\ \\ \\ I=x+\dfrac{2}{3}\ln\left|\dfrac{e^{2x} +3}{ e^{2x} }\right|+C\\ \\ \\ I=x+\dfrac{2}{3}\ln|e^{2x}+3|- \dfrac{2}{3} \ln e^{2x} +C\\ \\ \\ I=x+\dfrac{2}{3}\ln|e^{2x}+3|- \dfrac{4}{3} x+C\\ \\ \\ \boxed{I=\dfrac{2}{3}\ln|e^{2x}+3|- \dfrac{1}{3} x+C}$