Question

ayuda con estos ejercicios de mate. gracias

Answer 1

Antes de empezar te recuerdo la ecuación elemental de una parábola.

$x-h= \frac{1}{4p} (y-k)^2$ Horizontal.

$y-k= \frac{1}{4p} (x-h)^2$ Vertical.

Vertice = (h,k)

P es la distancia que hay del vertice al foco o la distancia que hay del vertice a la directriz, si P es positivo la parábola abre hacia arriba, si P es negativo abre hacia abajo.

La longitud del lado recto se halla con la ecuación $LadoRecto = 4|p|$

En cada ejercicio voy a intentar llevar cada ecuación a la forma elemental para que sea más fácil resolver los ejercicios.

1.

g) 
$x^2- \frac{3}{2} y=0$
$x^2= \frac{3}{2} y$
$\frac{3}{2} y= x^2$
$\frac{3}{2}y=(x-0)^2$
$y-0= \frac{2}{3} (x-0)^2$

Aún no hemos acabado, hay un detalle, el número que acompaña a $(x-0)^2$ aún no está de la forma $\frac{1}{4p}$, necesitamos hallar P y ahí si podemos llevar la ecuación a su forma elemental, hagamos la igualdad.

$\frac{1}{4p}= \frac{2}{3}$
Despejemos a P.
$1= \frac{8p}{3}$
$\frac{3}{8}= p$

Reemplacemos datos, ya conocemos P y el vértice.

$y-0= \frac{1}{4( \frac{3}{8})} (x-0)^2$
$y-0= \frac{1}{1.5} (x-0)^2$.

Hallemos los datos que nos piden.

Recuerda que P es la distancia del vertice al foco, y como es una parábola vertical, entonces como el foco está encima del vertice debemos sumarle P a la coordenada K del vertice de la parábola.

Foco: $(0, \frac{3}{8})$

Directriz: $y = -\frac{3}{8}$

Longitud del lado recto: 
$4|p|$
$4( \frac{3}{8} ) = \frac{12}{8} = 1.5 unidades.$

En este punto fui lo más explicito posible ya que de aquí en adelante solamente me voy a limitar a responder los puntos o tardaría demasiado.

h)
$x^2+12y=0$
$12y = -x^2$
$12y = -1(x^2)$
$y = \frac{-1}{12} (x^2)$
$y-0= \frac{1}{-12} (x-0)^2$

La parábola es vertical, como P es negativo entonces abre hacia abajo, tiene vertice en el origen (fijate en todo lo que nos dice esta ecuación si la llevamos a esta forma). Hallemos P.

$4p = -12$
$p = -3$

Foco: (0,-3)

Directriz: $y = 3$

Longitud lado recto =
4|p|
$4|-3| = 12 unidades$

i)
$x^2=-5y$
$-5y=x^2$
$y-0= \frac{1}{-5} (x-0)^2$

Es vertical, tiene vertice en el origen y abre hacia abajo.

$4p = -5$
$p = \frac{-5}{4}$

Foco: $(0, \frac{-5}{4})$

Directriz: $y = \frac{5}{4}$

Lado recto:
4|p|
$4| -\frac{5}{4}| = 5unidades$

2.

e) Vertice (0,0); directriz: x = 2

Esta parábola es horizontal, la directriz siempre determina hacia donde abre la parábola, mira la imagen que te adjunto, la recta que vez ahí es la recta $x=2$, esa es la ilustración de la misma situación que tenemos en este ejercicio, y como la parábola abre hacia la izquierda, entonces podemos asegurar que P es negativo ya que el lado izquierdo del eje X es el negativo, y si fuera el caso de que abriera a la derecha, P sería positivo, (aún no sabemos cuánto vale P, solamente podemos decir su signo).

Como sabemos que la parábola es horizontal debemos usar su ecuación elemental.

$x-h= \frac{1}{4p} (y-k)^2$ Horizontal.

Tenemos que el vertice es (0,0), entonces:

$x-0= \frac{1}{4p} (y-0)^2$

Lo único que nos falta es conocer cuánto es P para ingresarlo en la ecuación y concluimos, recuerda que P es la distancia del vertice a la directriz o la distancia del vertice al foco, como la directriz es la recta $x = 2$ podemos asegurar que la distancia del vertice a la directriz es de 2 unidades (si no entiendes mira la imagen), por lo tanto $p = 2$, PERO RECUERDA QUE P ES NEGATIVO.

$x-0= \frac{1}{4(-2)} (y-0)^2$
$x-0= \frac{1}{-8} (y-0)^2$

Listo, esa es la ecuación que nos pedían, pero está en forma elemental, si la quieres llevar a la ecuación en forma general simplemente debes solucionarla y dejarla igualada a 0.

f) Vertice (0,0), directriz $x = \frac{-1}{2}$

La parábola es horizontal y abre hacia a la derecha (No puede abrir hacia la izquierda porque recuerda que si abriera hacia la izquierda la parábola estaria tocando la directriz, y la parábola NUNCA toca a la directriz), por lo tanto P es positivo.

$p = \frac{1}{2}$

$x-h= \frac{1}{4p} (y-k)^2$ Horizontal.

$x-0= \frac{1}{4( \frac{1}{2}) } (y-0)^2$
$x-0= \frac{1}{2 } (y-0)^2$

g) Vértice (0,0); Foco $(0, \frac{-5}{3} )$

La única coordenada del vértice que cambio con respecto al foco es la coordenada K, por lo tanto el foco se movió SOBRE EL EJE Y.

$P = \frac{-5}{3}$

$y-k= \frac{1}{4p} (x-h)^2$ Vertical.

$y-0= \frac{1}{4( \frac{-5}{3} )} (x-0)^2$
$y-0= \frac{1}{ \frac{-20}{3} } (x-0)^2$

Fue un placer, saludos.