Question

Ayuda con esto, por favor.

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Derivadas

$\textbf{Problema :}$

Desde lo alto de una torre de vigilancia cilíndrica, se dispara verticalmente hacia arriba una bengala que esta programada para encenderse un segundo después de ser disparada. Hallar la razón de cambio con que aumenta o disminuye el área de la sombra circular 3 segundos después de ser disparada la bengala.

RESOLUCIÓN

Notemos que una vez encendida la bengala se forma una sombra cuya forma viene a ser la de una corona circular, el radio de la base del cono formado por la luz de la bengala lo denotaremos con $R$ y el área de la base del cilindro lo denotaremos con $r$ y además denotaremos como $y$ a la posición vertical de la bengala una vez disparada.

Aprovechando los triángulos semejantes $\triangle \textrm{APL} \sim \triangle \textrm{BPQ}$ podemos dar con la siguiente relación.

                                           $\dfrac{r}{y} = \dfrac{R}{y+h}$

De donde se deduce.

                                    $R = \dfrac{r}{y}(y+h) = r \left(1 + \dfrac{h}{y} \right)$

El área de la corona circular es el área de la base del cono disminuido en el área de la base del cilindro.

                                           $\textrm{A} = \pi (R^{2} - r^{2})$

De donde

                   $R^{2} = r^{2} \left(1 + \left( \dfrac{h}{y} \right)^{2} + \dfrac{2h}{y} \right) = r^{2} + \left( \dfrac{rh}{y} \right)^{2} + \dfrac{2hr^{2}}{y}$

Entonces.

                                 $\textrm{A} = \pi \left( r^{2} + \left( \dfrac{rh}{y} \right)^{2} + \dfrac{2hr^{2}}{y} - r^{2} \right)$

                                 $\textrm{A} = \pi \left( \left( \dfrac{rh}{y} \right)^{2} + \dfrac{2hr^{2}}{y} \right)$

Debemos notar que $y$ depende del tiempo según.

                                           $y = v_{0}t - \dfrac{g}{2}t^{2}$

Note además.

                                  $y^{2} = (v_{0}t)^{2} + \dfrac{g^{2}}{4} t^{4} -v_{0}g t^{3}$

Acomodando y haciendo la sustitución en la ecuación original.

                                    $\textrm{A} = \dfrac{( \pi rh)(rh+2yr)}{y^2}$

                                    $\textrm{A} = \dfrac{{4\pi}hr\left(-grt^2+2rv_{0}t+hr \right)}{g^2t^4-4gv_{0}t^3+4v_{0}^2t^2}$

Al final obtenemos el área de la sombra en función del tiempo, si queremos hallar la razón para un determinado instante de tiempo derivamos la función respecto al tiempo.

                       $\dfrac{\partial \textrm{A}}{ \partial t} = \dfrac{8{\pi}hr^2\left(gt-v_{0} \right)\left(t\left(gt-2v_{0} \right)-2h\right)}{t^3\left(gt-2v_{0}\right)^3}$

Sustituyendo con lo datos brindados por el problema y asumiendo $g = 10$ podemos dar con la razón de cambio para $t=3$

                                             $\dfrac{\partial \textrm{A}}{ \partial t} = \dfrac{8{\pi} \cdot 20 \cdot 10^2\left(10 \cdot 3 - 30 \right) \left(3 \left(10 \cdot 3 - 2 \cdot 30 \right)-2 \cdot 20 \right)}{3^3 \left( 10 \cdot 3 - 2 \cdot 30 \right)^3}$    

                                                $\dfrac{\partial \textrm{A}}{ \partial t} = 0$

Este resultado es interesante, si somos atentos para $t=3$ la velocidad de la bengala es nula.

Aunque no fue necesario para resolver el problema debemos de mencionar la aclaración, la fórmula encontrada que relaciona el área con el tiempo solo es valida para un $t \geq 1$ ya que es cuando la bengala enciende y para un  $t < 6$ debido a que para $t \geq 6$ la bengala toca el suelo de donde se disparó con lo cual $y = 0$ por lo que la fórmula no estará definida.

RESPUESTA

$\boxed{\dfrac{\partial \textrm{A}}{ \partial t} = 0}$