Question

Ayuda con este problema de mate por favor

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

El punto al que vas a calcular la distancia es (3,0), la ecuación de tu hipérbola es $2y^{2} -x^{2} =8$ ,entonces despejando $y^{2}$,  $y^{2} =\frac{x^{2}}{2} +4...(1)$

la distancia entre cualquier punto al punto (3,0) está dada por

$d=\sqrt{(x-3)^{2} + (y-0)^{2} } =\sqrt{x^{2} -6x+9+y^{2} }$ como el punto (x,y) esta en la

hipérbola se cumple que el punto es de la forma $(x^{2},\frac{x^{2} }{2} +4 )$ sustituyendo

$y^{2} =\frac{x^{2}}{2} +4...(1)$; $d=\sqrt{x^{2} -6x+9+\frac{x^{2} }{2} +4}=\sqrt{\frac{3x^{2} }{2} -6x+13$

por lo tanto la distancia de cualquier punto en la hipérbola al pueblo esta dada por  $d=\sqrt{\frac{3x^{2} }{2} -6x+13$ .

Ahora, si llamamos $f(x)$ a $\frac{3}{2}x^{2} -6x+13$,puedes ver que la distancia esta dada por una función creciente $\sqrt{f(x)}$ y dado que f(x) es una parabola cuyo coeficiente principal es positivo(osea que abre hacia arriba) dicha función tiene un mínimo en su vértice y dado que la función $\sqrt{f(x)}$ es creciente, el mínimo de f(x) es el mínimo de $\sqrt{f(x)}$ y por tanto la mínima distancia de un punto en la hipérbola al pueblo.

Dado que f(x) es una parábola su mínimo esta dado por la coordenada en x del vertice que esta dada por $x=\frac{-b}{2a}$ por lo tanto $x=\frac{-(-6)}{2(\frac{3}{2}) }= \frac{6}{3} =2$,y el punto en la hipérbola es: $(2,\sqrt{\frac{ 2^{2}}{2}+4 } )=(2,\sqrt{6})$.

Espero haberte ayudado, si tienes cualquier pregunta no dudes en ponerla en los comentarios.