ayuda con este problema de calculo, se trata de máximos y mínimos: A un impresor le dan instrucciones para obtener 300 centímetros cuadrados de impresión por página. Los márgenes superiores e inferiores deben de tener 1.5 centímetros y 2 centímetros en cada lado de la página. ¿Cuáles serán las dimensiones de la página si quiere utilizar una mínima cantidad de papel?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Creo que puede ser así:
Sucede que tenemos que diferenciar entre el área total de la página y el área de impresión efectiva de la página, entonces:
Área de la página = A.h
Área de impresión efectiva de la página = Área de la página - Área total de los márgenes
Para el área de los márgenes necesitamos el área de los costados y superior e inferior. El área de los lados es igual al margen de lado (2 cm.) por la altura. Como son dos, se multiplica por dos:
Área de márgenes en lados = 2(2.h) = 4.h
Para el área de lados superior e inferior hacemos lo mismo con los datos, pero no tomamos la altura de la página, sino el ancho:
Área de márgenes superior e inferior = 2(1,5.A) = 3.A
Si sumamos estas última área vamos a repetir las esquinas 1 vez cada una. Entonces, tenemos que restar 4 veces el área de una esquina.
Área de esquinas repetidas = 4(2.1,5) = 12
Ahora sabemos el área de impresión efectiva:
Área de impresión = A.h - (4.h + 3.A - 12)
Tenemos que hallar las dimensiones A y h, pero tenemos una restricción respecto al área de impresión, tiene que ser de 300. Entonces, tenemos un problema de optimización y podemos una usar un lagrangiano. Armamos nuestra función lagrangiana:
L = función objetivo - lambda(restricción - restricción base)
L = Área de página - lambda(Área de impresión - 300)
L = A.h - lambda(A.h - (4.h + 3.A - 12) - 300)
L = A.h - lambda(A.h - 4.h - 3.A - 288)
Derivamos parcialmente nuestra función respecto a nuestras variables de interés A y h, e igualamos a cero:
La = h - lambda.h + lambda.3 = 0
Lh = A - lambda.A + lambda.4 = 0
Despejamos lambda en ambas ecuaciones e igualamos los lambda:
h + (3 - h)lambda = 0 ... (1)
A + (4 - A)lambda = 0 ...(2)
Despejamos lambda de (1) y (2) e igualamos, nos queda:
h / (3 - h) = A / (4 - A)
4.h - A.h = 3.A - A.h
4.h = 3.A
h = 3A/4 ... (3)
En (3) hemos encontrado la relación entre altura y ancho de la página, esta información al reemplazamos en la ecuación de restricción:
300 = Área de impresión = A.h - (4.h + 3.A - 12)
300 = A.h - 4.h - 3.A + 12 ... (4)
Reemplazamos la relación (3) en (4) y simplificamos la ecuación:
300 = A.3.A/4 - 4.3.A/4 - 3.A + 12
300 = 3/4.A^2 - 3.A - 3.A + 12
0 = 3/4.A^2 - 6.A + 12 - 300
0 = 3/4.A^2 - 6.A - 288
0 = 3.A^2 - 24.A - 1152
0 = A^2 - 8.A - 384
Tenemos que factorizar para encontrar las soluciones a la ecuación, tenemos que:
(A - 24)(A + 16) = 0
A = 24
A = -16
Como el ancho es un valor positivo, nos quedamos con A = 24. Ahora con este dato vamos a la relación (3):
h = 3A/4 = 3.24/4
h = 18
Entonces, con una página de 18 de altura y 24 de ancho, márgenes superiores e inferiores de 1.5, y márgenes de lado de 2 cm, exactamente tendremos 300 cm cuadrados de impresión por página.