Question

ayuda con este ejercicio.

Answer 1

Voy a resolver la inecuación suponiendo que la expresión original, del archivo que anexastes, es

| (5x + 2) / (x - 2) | < 5/3

Si la expresión no es esa, puedes seguir el procedimiento para llegar al resultado, ya que voy a darte la explicación detallada.


Lo primero es usar la definición de la función valor absoluto, | |, para eliminar las barras. Eso te lleva a lo siguiente:

-5/3 < (5x + 2) / (x - 2) < 5/3

De donde se deriva que hay que resolver dos desigualdades>

1) (5x + 2) / (x - 2) < 5/3 y 2) (5x + 2) / (x - 2) > - 5/3

El resultado final debe cumplir con ambas desigualdades, así que el resultado final será la  intersección de las soluciones de ambas inecuaciones.

Trabajemos la primera:

(5x + 2) / (x - 2) < 5/3

Debes restar 5/3 a ambos lados, para obtener:

(5x + 2) / (x - 2) - 5/3 < 0

Ahora, saca minimo comun denominador,3(x - 2):

[(5x + 2) (3) - 5(x - 2) ] / [3(x -2) < 0

[15x + 6 - 5x + 10] /3 [x - 2] < 0

Si multiplicas ambos lados por 3, este se simplifica y desaparece de la desigualdad:

[10x + 16] / [x - 2] < 0

La forma en que se cumpla esa desigualdad es que numerador y denominador tengan signos opuesetos, es decir>

A)10x + 16 > 0 y   x - 2 < 0 ; o
B) 10x + 16 < 0 y x - 2 > 0

De A) obtenemos 10x + 16 > 0 => x > - 8/5 y x < 2; es decir el intervalo
 (- 8/5, 2)

De B) obtenemos 10x + 16 < 0 => x > - 8/5 y x > 2, lo cual no es posible.

Entonces, tenemos como primer conjunto posible de solución el que obtuvimos de A) (- 8/5, 2)

 
Ahora vamos a trabajar la segunda desigualdad:

(5x + 2) / (x - 2) > - 5/3

Sumamos 5/3 a ambos lados

(5x + 2) / (x - 2) + 5/3 > 0

Sacamos m.c.m. de los denominadores: 3(x - 2)

[(5x + 2)(3) + 5(x - 2)] / [3(x-2) ] > 0

[ 15x + 6 + 5x  -10] / [x - 2] > 0

[20x - 4] / [x - 2] > 0

Cuya solución es que denominador y numerador sean ambos positivos o ambos negativos.

Si ambos son positivos:

20x - 4 > 0 y x - 2> 0
x > 1/5 y x > 2 => x > 2, o sea (2, ∞)

Si ambos son negativos:

x < 1/5 y x < 2 => x < 1/5,  osea (-∞, 1/5)

Con lo que la solución de esta parte es (-∞, 1/5)∪ (2,∞)

Como se dijo inicialmente, la solución final es la intersección de este intervalo con el intervalo de la solución para la primera parte es decir:

{(-∞, 1/5)∪ (2,∞) } ∩ (- 8/5, 2)

Cuya solución es el intervalo ( -8/5 , 1/5)

O sea, -8/5 < x < 1/5

Esta solución no coincide con ninguna de las tres opciones de resultados motradas. No sé si la desigualdad que escribiste está bien escrita o si faltó alguna opción de resultado. Como te dije, el procedimiento explicado debería ayudarte a resolver cualquier inecuación de este tipo.