Question

Ayuda con ésta integral por favor

Answer 1

Tenemos,

$- \int\limits { \frac{ sin^{2}(x) }{cos(x)} } \, dx$

usamos la identidad trigonométrica,

$sin^{2} (x)+ cos^{2} (x)=1$

despejamos, el seno cuadrado y reemplazamos en nuestra integral,

$- \int\limits { \frac{ (1-cos^{2}(x)) }{cos(x)} } \, dx$

podemos distribuir el denominador para cada término del numerador,

$- \int\limits {( \frac{ 1 }{cos(x)} - \frac{cos^{2}(x)}{cos(x)}) } \, dx \\ \\ - \int\limits {( \frac{ 1 }{cos(x)} - cos(x)) } \, dx$

Podemos distribuir la integral para cada término,

$- (\int\limits { \frac{ 1 }{cos(x)} - \int\limits {cos(x)} \,) dx$

y éstas integrales si las sabemos,

Tenemos las siguiente integrales directas,

$\int\limits {cos(x)} \, dx =sin(x) +C\\ \\ \int\limits { \frac{1}{cos(x)} } \, dx = \int\limits {sec(x)} \, dx =ln(sec(x)+tan(x))+C$

entonces,

$- (\int\limits { \frac{ 1 }{cos(x)} - \int\limits {cos(x)} \,) dx=-(ln(sec(x)+tan(x))-sin(x))+C$

es decir,

$-ln(sec(x)+tan(x))+sin(x)+C$

y eso sería todo