Matemáticas, pregunta formulada por mobi1, hace 1 año

ayuda con esta ecuación diferencial....... 3xy'-2y=x^3/y^2

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
12
3xy^2y'-2y^3=x^3\\ \\
3xy^2dy=(x^3+2y^3)dx\\ \\
(x^3+2y^3)dx - 3xy^2dy=0\\ \\ 
\texttt{Buscaremos un factor integrante para convertirla en una EDO}\\ 
\texttt{homogenea. Sea en principio }\phi =\phi(x,y), \texttt{ entonces}:\\ \\
P=(x^3+2y^3)\phi\to P_y=6y^2\phi+(x^3+2y^3)\phi_y\\ \\
Q=- 3xy^2\phi\to Q_x=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\ \\
\texttt{A primera vista nos comnvendr\'ia que no aparezca el t\'ermino}\\\\
(x^3+2y^3)\phi_y\texttt{ es decir }\phi=\phi(x), \texttt{pues sigamos nuestra intuici\'on}

P=(x^3+2y^3)\phi\to P_y=6y^2\phi\\ \\
Q=- 3xy^2\phi\to Q_x=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\ \\
\texttt{Luegose debe verificar }P_y=Q_x\\ \\
6y^2\phi=-3y^2\phi-3xy^2\phi_x\\ \\
9y^2\phi=-3xy^2\phi_x\\ \\
-3\phi=x\phi_x\\ \\
-\dfrac{3}{x}=\dfrac{\phi_x}{\phi}\\ \\ \\
-\dfrac{3}{x}dx=\dfrac{1}{\phi}d\phi\\ \\ \\
\displaystyle
\int-\dfrac{3}{x}dx=\int\dfrac{1}{\phi}d\phi\\ \\ \\
-3\ln x=\ln \phi\\ \\
\boxed{\phi =\dfrac{1}{x^3}}

Entonces tendríamos la siguiente EDO

(x^3+2y^3)\phi ~dx - 3xy^2\phi ~dy=0\\ \\ 
\dfrac{x^3+2y^3}{x^3}dx-\dfrac{3xy^2}{x^3}dy=0\\ \\ \\
\left(1+\dfrac{2y^3}{x^3}\right)dx-\dfrac{3y^2}{x^2}dy=0\\ \\ \\
\texttt{Ahora encontraremos un }F\texttt{ tal que }\\ \\ \\
\hspace*{2.5cm}dF=0\iff F_x~dx+F_y~dy=0\\ \\ \\
\texttt{O sea: }
F_x=1+\dfrac{2y^3}{x^3}\wedge F_y=-\dfrac{3y^2}{x^2}\\ \\ \\
F_y=-\dfrac{3y^2}{x^2}\\ \\ \\
F=-\dfrac{y^3}{x^2}+\xi(x)\\ \\ \\
F_x=\dfrac{2y^3}{x^3}+\xi'(x)


1+\dfrac{2y^3}{x^3}=\dfrac{2y^3}{x^3}+\xi'(x)\\ \\ \\
\xi'(x)=1\\ \\
\xi(x)=x\\ \\ \\
\texttt{Entonces }F(x,y)=x-\dfrac{y^3}{x^2}\\ \\ \\
\therefore ~~\boxed{\boxed{x-\dfrac{y^3}{x^2}=C}} \textit{ es la soluci\'on de la EDO}
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