Question

Ayuda con el problema 45 y 47 (Ver foto adjunta)

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Identidades Trigonométricas

$\textbf{Problema 45 :}$

Exprese para un ángulo agudo, el valor de la cotangente en términos del seno.

RESOLUCIÓN

Como el ángulo es agudo, es decir $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ no debemos preocuparnos por valores admisibles y nuestros cálculos serán mucho más sencillos.

Tomemos en cuenta las siguiente identidades.

Identidad Cociente

$\boxed{\cot (\theta) = \dfrac{\cos (\theta)}{\textrm{sen} (\theta)}}$

Identidad Pitagórica

$\boxed{\textrm{sen}^{2} (\theta) + \textrm{cos}^{2} (\theta) = 1}$

Si el ángulo es agudo podemos escribir la identidad pitagórica de esta forma.

$\textrm{sen}^{2} (\theta) + \textrm{cos}^{2} (\theta) = 1 \\ \\ \textrm{cos}^{2} (\theta) = 1 - \textrm{sen}^{2} (\theta) \\ \\ \cos (\theta) = \sqrt{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}$

Entonces podemos escribir la cotangente de la siguiente manera.

$\cot (\theta) = \dfrac{\cos (\theta)}{\textrm{sen} (\theta)} = \dfrac{\sqrt{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}{\textrm{sen} (\theta)}$

De este modo queda expresado el valor de la cotangente en términos del seno.

RESPUESTA

$\boxed{\cot (\theta) = \dfrac{\sqrt{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}{\textrm{sen} (\theta)}}$

$\textbf{Problema 47 :}$

Exprese para un ángulo agudo, el valor de la secante en términos del seno.

RESOLUCIÓN

Empecemos directamente con una identidad recíproca.

Identidad Recíproca

$\textrm{sec} (\theta) = \dfrac{1}{\cos( \theta)}$

Como nos piden expresar la secante en términos del seno, inmediatamente empleamos el mismo procedimiento al anterior.

$\boxed{\cos (\theta) = \sqrt{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}$

De esta forma quedará expresada la secante en términos del seno.

$\textrm{sec} (\theta) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}$

o equivalentemente

$\textrm{sec} (\theta) = \sqrt{ \dfrac{1}{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{sec} (\theta) = \sqrt{ \dfrac{1}{1 - \textrm{sen}^{2} (\theta)}}}$