Question

Ayuda con ejercicio de Algebra Lineal.. si pudieras explicarme cómo se hace al menos con el ítem a ... muchas gracias

Answer 1

EJEMPLO:

ANTECEDENTES

Con el último resultado del apartado anterior podemos concluir que en cualquier subespacio vectorial W siempre podemos encontrar un sistema de generadores cuyos vectores sean linealmente independientes. Esta característica además permite deducir que el número de vectores de un conjunto de vectores de V linealmente independientes, no puede ser superior al número de vectores precisos para generar V es decir

               {nº máximo de vectores l.i. en V} {nº mínimo de vectores precisos para generar V}  

 

 

 

Ejemplo

Sea W={(x,y,z)/x+y+z=0}

Los conjuntos de vectores

               G1={(-1,1,0),(-1,0,1)} y G2={(-1,1,0),(-1,0,1),(-2,1,1)}

                       (3,0,-3) = 2(-1,1,0)-(-1,0,1)-(-2,1,1)

y así sucesivamente.  

 

¿Por qué se dá esta diferencia entre dos sistemas de generadores que generan el mismo subespacio?

   La respuesta es bien sencilla:

Un vector de un subespacio vectorial W se genera de FORMA ÚNICA por sistemas de generadores de W que sean L.I.; y por el contrario existen infinitas formas de generar un vector del subespacio W mediante sistemas de generadores de W que sean L.D.

Practiquemos más sobre estas cuestiones mediante el siguiente ejercicio:  

 

Ejercicio I.27

Dado el subespacio vectorial  

       a) Obtener dos sistemas de generadores de W uno L.I. G1 y otro L.D. G2

        b) Obtener la combinación o combinaciónes lineales de vectores de G1 y G2 necesarias para obtener el vector (0,1,2,-1) de W.  

 

Por tanto resultaría muy interesante tomar sistemas de generadores linealmente independientes de un subespacio vectorial W, ya que estos conjuntos de vectores determinan de FORMA UNÍVOCA cualquier vector del subespacio. Por este motivo se introduce el concepto de BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL.  

 

 

Definición BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL

Sea un conjunto de vectores del subespacio vectorial W.

Diremos que B es una BASE de este subespacio vectorial si y sólo si:

       1) B es un SISTEMA DE GENERADORES de W

       2) B es un conjunto LINEALMENTE INDEPENDIENTE.  

 

Si observamos el ejemplo anterior el primer conjunto G1 es una base del subespacio vectorial W pues es un sistema de generadores de W y además los vectores son l.i.

Ejercicio I.28

Encontrar una base B del subespacio vectorial

y representar el vector (1,1,-1,2) mediante los elementos de dicha base.  

 

       ¿Cuál es la ventaja que tiene la base B de un subespacio vectorial?

La ventaja es evidente: TODO VECTOR del subespacio vectorial se puede expresar de forma única a través de los vectores de la base B. En consecuencia, los valores o parámetros de la combinación lineal de vectores de B que representan a cualquier vector del subespacio W, son valores únicos para esta base. Esta situación puede permitirnos definir el concepto de COORDENADA:  

 

 

Definición: COORDENADA

Sea una base del subespacio vectorial W y sea un vector de W.

Diremos que son las coordenadas del vector respecto de la base B si y sólo si se verifica que

 

 

Veamos a continuación un ejemplo de cómo obtener las coordenadas de un vector respecto de una base con ayuda de DERIVE:

Ejemplo.

Dado el subespacio vectorial .

Una base de dicho subespacio sería por ejemplo la formada por: el conjunto de vectores

B={(-1,0,2,0),(0,1,0,0),(0,0,0,1)} basta obtener las ecuaciones paramétricas del subespacio.

Pues bien si tomamos un vector cualquier del subespacio, por ejemplo el vector (-2,3,4,2) ¿cuáles serán las coordenadas de ese vector respecto de la base obtenida B?

Para obtenerlas basta con encontrar la combinación lineal de los vectores de la base B mediante la cual podemos obtener el vector dado, es decir, plateamos en DERIVE la ecuación vectorial

al simplificarla obtenemos el sistema de ecuaciones

y al resolverlo resultan los valores

lo cual indica que el vector (-2,3,4,2) = (2,3,2)B que son sus coordenadas en la base B.  

 

   Si tomamos una base distinta por ejemplo

B2={(1,0,-2,0),(0,2,0,1),(0,0,0,1)} el mismo vector (-2,3,4,2) tendrá unas coordenadas distintas.

En este caso la ecuación vectorial a resolver sería

es decir, el sistema de ecuaciones

cuya solución es

Luego en este caso el vector (-2,3,4,2) tiene de coordenadas (-2,3/2,1/2) en la nueva base B2.

Así pues, aunque una base determina de forma unívoca a cada vector de un subespacio vectorial, sin embargo bases distintas proporcionan coordenadas distintas a un mismo vector de un determinado subespacio.  

 

Ejercicio I.29

Dados los conjuntos de vectores

B1={(1,2,3),(0,0,1),(-1,1,0)}

B2={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)}

B3={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

Se pide:

   a) Comprobar si son bases de R3.  

   b) Obtener las coordenadas del vector (3,2,-1) respecto de los conjuntos anteriores que sean base.  

 

 

PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS BASES.