Question

Ayuda ! Con derivadas de la función logaritmo natural
1- y= lnx
------
x2
2- g(x) = ln√4+x2
------------
x
3- 2x (7x+9)^3

4- ln(1-x)^2

Xfavor!

Answer 1

Hola,

Algo para tener encuenta , la derivada de la función logaritmo natural es:

$f(x) = ln(x) =\ \textgreater \ f ' (x) = \frac{1}{x}$

Para estos ejercicios necesitas saber la derivada de un producto y de una división, sea :

$y = f(x) \cdot g(x) =\ \textgreater \ y ' = f'g + fg' \\ \\ y = \frac{f(x)}{g(x)} =\ \textgreater \ y' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}$

Y además saber utilizar la regla de la cadena..

Ejercicio 1)

$y = \frac{lnx}{x^2}$

tomamos f=lnx y g=x^2  => f '(x) = 1/x y g'(x) =2x, entonces la derivada es :

$y ' = \frac{ \frac{1}{x} \cdot x^{2} - lnx \cdot 2x }{(x^{2})^{2}} = \frac{x-2xlnx}{x^4}$

Ejercicio 2)

$g(x) = \frac{ln( \sqrt{4+x^{2}} )}{x}$

Hay que tener cuidado con la regla de la cadena para el numerador, para evitar confusiones de nombre, tomemos:
 
$u = ln( \sqrt{4+x^{2}}) =\ \textgreater \ u' = \frac{1}{ \sqrt{4+x^{2}} } \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4+x^{2}} } \cdot 2x = \frac{x}{4+x^{2}}$

y

v = x => v' = 1

Entonces la derivada sería:

$g(x) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} = \frac{ \frac{x}{4+x^{2}}\cdot x - ln( \sqrt{4+x^{2}}) }{x^{2}}$

Para el ejercicio 3) podemos usar la regla del producto,

y = 2x (7x+9)^3

tomemos, 
f = 2x y g= (7x+9)^3 => f ' = 2 ; g' = 3(7x+9)^2 * 7 = 21(7x+9)^2

La derivada sería entonces:

y ' = 2*(7x+9)^3 + 2x*21(7x+9)^2

factorizando un poco,

y ' = (7x+9)^2 ( 2(7x+9) + 42x)

El último ejercicio,

4) ln((1-x)^2) [ hice la suposición de que el ^2 está dentro del argumento, si estuviera afuera cambiaría la derivada]

Por propiedades del logaritmo podemos reescribir la función como,

y = 2ln(1-x)   => y ' = 2* (1/(1-x)) * -1

y' = -2/(1-x)

Salu2 :).

Answer 2

Respuesta:

Algo para tener encuenta , la derivada de la función logaritmo natural es:

Para estos ejercicios necesitas saber la derivada de un producto y de una división, sea :

Y además saber utilizar la regla de la cadena..

Ejercicio 1)

tomamos f=lnx y g=x^2  => f '(x) = 1/x y g'(x) =2x, entonces la derivada es :

Ejercicio 2)

Hay que tener cuidado con la regla de la cadena para el numerador, para evitar confusiones de nombre, tomemos:

 

y

v = x => v' = 1

Entonces la derivada sería:

Para el ejercicio 3) podemos usar la regla del producto,

y = 2x (7x+9)^3

tomemos,  

f = 2x y g= (7x+9)^3 => f ' = 2 ; g' = 3(7x+9)^2 * 7 = 21(7x+9)^2

La derivada sería entonces:

y ' = 2*(7x+9)^3 + 2x*21(7x+9)^2

factorizando un poco,

y ' = (7x+9)^2 ( 2(7x+9) + 42x)

El último ejercicio,

4) ln((1-x)^2) [ hice la suposición de que el ^2 está dentro del argumento, si estuviera afuera cambiaría la derivada]

Por propiedades del logaritmo podemos reescribir la función como,

y = 2ln(1-x)   => y ' = 2* (1/(1-x)) * -1

y' = -2/(1-x)

espero te sea útil :)